Beviser med linjens ligning på formen y = ax + b

Linjens hældning og skæring med y-aksen ud fra to punkter på linjen

Sætning. Linjens ligning ud fra to punkter.

Hvis linjen l går gennem punkterne A(x1,y1) og B(x2,y2) (hvor x1 ≠ x2), så er linjens hældning (a) og skæring med y-aksen (b) givet ved

\begin{align*} &a = \frac{y_2-y_1}{x_2 - x_1} \\[1.5em] &b = y_1 - a\cdot x_1 \end{align}

Du kan læse mere om linjens ligning på formen y = ax + b på siden Hældningskoefficient og skæring med y-aksen.

Bevis

Vi lader A(x1,y1) og B(x2,y2) være to punkter, hvor x1 ≠ x2. Da x1 ≠ x2, så er linjen gennem punkterne ikke lodret. Linjen gennem punkterne er dermed givet ved en ligning på formen

y = ax + b

Da A(x1,y1) og B(x2,y2) ligger på linjen, så opfylder punkternes koordinater linjens ligning, dvs. at

\begin{align*} y_1 &= a \cdot x_1 + b \\[0.5em] y_2 &= a \cdot x_2 + b \end{align} \\

Vi benytter de to ligninger herover til at omskrive udtrykket y2 - y1:

y_2 - y_1 = a \cdot x_2 + b - (a \cdot x_1 + b)     = a \cdot x_2 + b - a \cdot x_1 - b     = a \cdot x_2 - a \cdot x_1     = a \cdot (x_2 - x_1)

Da x1 ≠ x2, så er x2 - x1 ≠ 0. Vi kan derfor isolere a ved at dividere med x2 - x1:

 a \cdot (x_2 - x_1) = 
...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind