Beviser med linjens ligning på formen y = ax + b
Indhold
Linjens hældning og skæring med y-aksen ud fra to punkter på linjen
Sætning. Linjens ligning ud fra to punkter.
Hvis linjen l går gennem punkterne A(x1,y1) og B(x2,y2) (hvor x1 ≠ x2), så er linjens hældning (a) og skæring med y-aksen (b) givet ved
![\begin{align*} &a = \frac{y_2-y_1}{x_2 - x_1} \\[1.5em] &b = y_1 - a\cdot x_1 \end{align}](/media/webbooks/preview/2192/32067/images/equations/z_11wthef8iky57zuouscw==.svg)
Du kan læse mere om linjens ligning på formen y = ax + b på siden Hældningskoefficient og skæring med y-aksen.
Bevis
Vi lader A(x1,y1) og B(x2,y2) være to punkter, hvor x1 ≠ x2. Da x1 ≠ x2, så er linjen gennem punkterne ikke lodret. Linjen gennem punkterne er dermed givet ved en ligning på formen
y = ax + b
Da A(x1,y1) og B(x2,y2) ligger på linjen, så opfylder punkternes koordinater linjens ligning, dvs. at
![\begin{align*} y_1 &= a \cdot x_1 + b \\[0.5em] y_2 &= a \cdot x_2 + b \end{align} \\](/media/webbooks/preview/2192/32067/images/equations/co4tq1m_nbmzt0nycpn7gw==.svg)
Vi benytter de to ligninger herover til at omskrive udtrykket y2 - y1:
= 
= 
= 
= 
Da x1 ≠ x2, så er x2 - x1 ≠ 0. Vi kan derfor isolere a ved at dividere med x2 - x1:
= 