[27]

Bevis for linjens parameterfremstilling

Sætning. En parameterfremstilling for en linje.

Linjen, der går gennem punktet P(x0,y0) og har retningsvektoren

$\vec{r} = \binom{r_1}{r_2}, \\$

er givet ved parameterfremstillingen

$\binom{x}{y} = \binom{x_0}{y_0} + t \cdot \binom{r_1}{r_2}, \ t \in \mathbb{R}$

Du kan læse mere om linjens parameterfremstilling og se eksempler på, hvordan vi bestemmer en parameterfremstilling for en linje, på siden Parameterfremstilling for en linje.

Bevis

Vi lader l være linjen, der går gennem punktet P(x0,y0) og har retningsvektoren

$\vec{r} = \binom{r_1}{r_2}$

Vi kigger nu på et andet punkt Q.

Punktet Q(x,y), der er forskelligt fra P, ligger på linjen l, hvis og kun hvis vektoren $\overrightarrow{PQ}$ er parallel med linjen. Da $\vec{r}$ er retningsvektor for linjen, ...