Parameterfremstilling for en linje

Indhold

Bestem en parameterfremstilling ud fra et punkt og en retningsvektor
- Eksempel: Bestem en parameterfremstilling for linjen, der går gennem P og har vektor r som retningsvektor
- Eksempel: Bestem en parameterfremstilling for linjen, der går gennem punkterne A og B
En linje er givet ved flere parameterfremstillinger
- Eksempel
Omskrivning mellem parameterfremstilling og ligning
- Bestem en ligning for en linje ud fra en parameterfremstilling
  - Eksempel
- Bestem parameterfremstilling ud fra ligning
  - Eksempel: Bestem en parameterfremstilling for linjen givet ved -3 · (x - 2) + 5 · (y + 1) = 0
  - Eksempel: Bestem en parameterfremstilling for linjen givet ved 2x + 3y - 5 = 0

Bestem en parameterfremstilling ud fra et punkt og en retningsvektor

Enhver linje kan beskrives ved en parameterfremstilling, der, ligesom linjens ligning, er en måde at beskrive linjen på. Vi benytter en retningsvektor for linjen til at bestemme en parameterfremstilling.

Sætning. En parameterfremstilling for en linje.

Linjen, der går gennem punktet P(x0,y0) og har retningsvektoren

$\vec{r} = \binom{r_1}{r_2}, \\$

er givet ved parameterfremstillingen

$\binom{x}{y} = \binom{x_0}{y_0} + t \cdot \binom{r_1}{r_2}, \ t \in \mathbb{R}$

Vi beviser sætningen på siden Bevis for linjens parameterfremstilling.

I udtrykket på højre side af lighedstegnet i parameterfremstillingen indgår en variabel. Den variable kaldes parameteren. Vi benytter typisk t som parameter, men vi kan også vælge fx s.

Eksempel: Bestem en parameterfremstilling for linjen, der går gennem P og har vektor r som retningsvektor

Linjen l går gennem punktet P(-1,3). $\vec{r}$ er en retningsvektor for l:

$\vec{r} = \binom{2}{4}$

Vi vil bestemme en parameterfremstilling for linjen.

Da l går gennem P, og $\vec{r}$ er en retningsvektor for l, så er l givet ved parameterfremstillingen

$\binom{x}{y} = \binom{-1}{3} + t \cdot \binom{2}{4}, \ t \in \mathbb{R}$

Eksempel: Bestem en parameterfremstilling fo

...