[27]

Bevis for linjens ligning på formen a · (x - x₀) + b · (y - y₀) = 0

Indhold

Linjens ligning på formen a · (x - x₀) + b · (y - y₀) = 0
Bevis
Omskrivning af linjens ligning til formen ax + by + c = 0

Linjens ligning på formen a · (x - x₀) + b · (y - y₀) = 0

Sætning. En ligning for en linje på formen a · (x - x0) + b · (y - y0) = 0.

Linjen, der går gennem punktet P(x0,y0) og har normalvektoren

$\vec{n} = \binom{a}{b},$

er givet ved ligningen

a · (x - x0) + b · (y - y0) = 0

Du kan læse mere om linjer og se eksempler på, hvordan vi bestemmer en ligning for en linje, på siderne om Linjens ligning.

Bevis

Vi lader l være linjen, der går gennem punktet P(x0,y0) og har $\vec{n}$ som normalvektor:

$\vec{n} = \binom{a}{b}$

Vi kigger nu på et andet punkt Q.

Et punkt Q(x,y), der er forskelligt fra P, ligger på linjen l, hvis og kun hvis $\overrightarrow{PQ}$ er parallel med linjen. Vi bestemmer koordinaterne til $\overrightarrow{PQ}$ :

$\overrightarrow{PQ} = \binom{x - x_0}{y - y_0}$

Da $\vec{n}$ er normalvektor for linjen, så står $\vec{n}$ vinkelret på linjen. At $\overrightarrow{PQ}$ er parallel med linjen, er dermed ensbetydende med, at $\overrightarrow{PQ}$ står vinkelret på $\vec{n}$ .

Vektorerne $\vec{n}$ ...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind