[31]

Bevis for distanceformlen (afstand fra punkt til linje)

Indhold

Distanceformlen (linjens ligning på formen ax + by + c = 0)
- Bevis
Distanceformlen (linjens ligning på formen y = ax + b)
- Bevis

Distanceformlen (linjens ligning på formen ax + by + c = 0)

Sætning. Distanceformlen (ax + by + c = 0).

Afstanden mellem et punkt P(x1,y1) og en linje l: ax + by + c = 0 er givet ved

$\text{dist}(P,l) = \frac{| a \cdot x_1 + b \cdot y_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Du kan læse mere om distanceformlen og se eksempler på, hvordan vi bestemmer afstanden mellem et punkt og en linje med en ligning på formen ax + by + c = 0, på siden Distanceformlen.

Bevis

Vi lader P(x1,y1) være et punkt og l en linje givet ved ligningen

ax + by + c = 0

Afstanden fra P til l betegnes dist(P,l).

Punktet Q er projektionen af P på l. Dermed er

dist(P,l) = |QP|

Vi aflæser en normalvektor $\vec{n}$ for linjen i linjens ligning:

$\vec{n} = \binom{a}{b}$

Derefter vælger vi et punkt P0(x0,y0) på linjen l. Da P0 ligger på linjen, så opfylder punktets koordinater linjens ligning:

ax0 + by0 + c = 0

Vi isolerer c i l...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind