Analytisk geometri

Her er vores kompendium om analytisk geometri. Analytisk geometri er en del af Matematik A og B på STX, HF og HTX.

Kompendiets opbygning

Her er et uddrag af siden Tangent til en cirkel:

Bestem røringspunktet for en tangent

Røringspunktet for en tangent til en cirkel er skæringspunktet mellem cirklen og tangenten. Vi kan derfor bestemme røringspunktet for en tangent ved at bestemme skæringspunktet mellem cirklen og tangenten. Hvis vi ikke kender en ligning for tangenten, så skal vi først bestemme en ligning.

Eksempel: Bestem røringspunkt for tangent ud fra ligning

Cirklen c er givet ved ligningen

(x - 4)² + (y - 4)² = 5²

Cirklen har en tangent m, der er givet ved ligningen

3x - 4y - 21 = 0

Vi vil bestemme røringspunktet for m.

Da...

Her er et uddrag af siden Skæring mellem to linjer:

Bestem skæringspunktet mellem to linjer givet ved en ligning og en parameterfremstilling

Når vi kender en ligning for en linje og en parameterfremstilling for en anden linje, så kan vi bestemme skæringspunktet mellem linjerne på følgende måde:

Indsæt udtrykkene for x og y fra den ene linjes parameterfremstilling i den anden linjes ligning.
Isolér parameteren (typisk t).
Bestem skæringspunktets koordinater ved at indsætte parameterværdien fra 2) i parameterfremstillingen.

Eksempel

To linjer l og m er givet ved hhv. en ligning og en parameterfremstilling:

$\begin{align*} &l: \ \ \ 2x + 7y + 6 = 0 \\[0.5em] &m: \ \binom{x}{y} = \binom{5}{0} + t \cdot \binom{1}{2} \end{align}$

Vi vil bestemme skæringspunktet mellem de to linjer.

Først...