Vinkel mellem vektorer

Vinklen mellem to vektorer i planen

To vektorer danner to vinkler. På figuren herunder har vi kaldt de to vinkler v1 og v2:

Den mindste af de to vinkler omtales som vinklen mellem vektorerne. På figuren herover er v1 vinklen mellem vektorerne \vec{a} og \vec{b}.

Vinklen mellem to vektorer ligger altid i intervallet fra 0° til 180°.

Sammenhængen mellem skalarproduktet og vinklen mellem vektorerne

Du kan bestemme vinklen mellem to vektorer, hvis du kender skalarproduktet af vektorerne og længden af hver vektor. Vi beskriver sammenhængen i sætningen herunder.

Sætning. Sammenhængen mellem skalarproduktet og vinklen mellem vektorerne.

Der er følgende sammenhæng mellem skalarproduktet af to vektorer \vec{a} og \vec{b} og vinklen v mellem vektorerne:

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} |\cos(v)

Dvs. at

\cos(v) =\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}

Eksempel: Bestem vinklen mellem vektor u og vektor w

To vektorer er givet ved

\begin{align*} &\vec{u} = \binom{-4}{8} \\ &\vec{w} = \binom{3}{6} \end{align*}

Vi bestemmer skalarproduktet:

\begin{align*} \vec{u}\cdot \vec{w} &= -4 \cdot 3 + 8 \cdot 6 \\ &= -12 + 48 \\ &= 36 \end{align*}

Derefter bestemmer vi længden af de to vektorer:

\begin{align*} |\vec{u}| &= \sqrt{\left ( -4 \right )^2 + 8^2} \\ &= \sqrt{16 + 64} \\ &= \sqrt{80} \\ \\ |\vec{w}| &= \sqrt{3^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{9 + 36} \\ &= \sqrt{45} \end{align*}

Vi indsætter ...

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind