Vinkel mellem vektorer

Indhold

Vinklen mellem to vektorer i planen
Sammenhængen mellem skalarproduktet og vinklen mellem vektorerne
Spids, ret eller stump vinkel
- Eksempel: Er vinklen mellem vektor a og vektor b spids, ret eller stump?
- Eksempel: Er vinklen mellem vektor u og vektor w spids, ret eller stump?
Opgaver om vinklen mellem vektorer

Vinklen mellem to vektorer i planen

To vektorer danner to vinkler. På figuren herunder har vi kaldt de to vinkler v1 og v2:

Den mindste af de to vinkler omtales som vinklen mellem vektorerne. På figuren herover er v1 vinklen mellem vektorerne $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Vinklen mellem to vektorer ligger altid i intervallet fra 0° til 180°.

Sammenhængen mellem skalarproduktet og vinklen mellem vektorerne

Du kan bestemme vinklen mellem to vektorer, hvis du kender skalarproduktet af vektorerne og længden af hver vektor. Vi beskriver sammenhængen i sætningen herunder.

Sætning. Sammenhængen mellem skalarproduktet og vinklen mellem vektorerne.

Der er følgende sammenhæng mellem skalarproduktet af to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ og vinklen v mellem vektorerne:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} |\cos(v)$

Dvs. at

$\cos(v) =\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}$

Eksempel: Bestem vinklen mellem vektor u og vektor w

To vektorer er givet ved

$\begin{align*} &\vec{u} = \binom{-4}{8} \\ &\vec{w} = \binom{3}{6} \end{align*}$

Vi bestemmer skalarproduktet:

$\begin{align*} \vec{u}\cdot \vec{w} &= -4 \cdot 3 + 8 \cdot 6 \\ &= -12 + 48 \\ &= 36 \end{align*}$

Derefter bestemmer vi længden af de to vektorer:

$\begin{align*} |\vec{u}| &= \sqrt{\left ( -4 \right )^2 + 8^2} \\ &= \sqrt{16 + 64} \\ &= \sqrt{80} \\ \\ |\vec{w}| &= \sqrt{3^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{9 + 36} \\ &= \sqrt{45} \end{align*}$