Determinant

Denne side handler om determinanten mellem to vektorer i planen.

Definition af determinanten

Determinanten mellem to vektorer \vec{a} og \vec{b} noteres \det(\vec{a},\vec{b}).Vi benytter skalarproduktet til at definere determinanten mellem to vektorer:

Definition. Determinant.

Determinanten mellem to vektorer \vec{a} og \vec{b} er givet ved

\det(\vec{a},\vec{b}) = \hat{\vec{a}} \cdot \vec{b}

\hat{\vec{a}} er tværvektoren til \vec{a}.

Da skalarproduktet \hat{\vec{a}} \cdot \vec{b} er et tal, så er determinanten også et tal.

Eksempel: Bestem determinanten mellem vektor a og vektor b

To vektorer er givet ved

\begin{align*} &\vec{a} = \binom{2}{1} \\ &\vec{b} = \binom{-3}{8} \end{align*}

Vi bestemmer tværvektoren \hat{\vec{a}}:

\hat{\vec{a}} = \binom{-1}{2}

Vi kan nu bestemme determinanten:

\begin{align*} \det({\vec{a},\vec{b}}) &= \binom{-1}{2} \cdot \binom{-3}{8} \\ &= -1 \cdot (-3) + 2 \cdot 8 \\ &= 3 + 16 \\ &= 19 \end{align*}

Formel for determinanten

Sætningen herunder indeholder en formel for determinanten mellem to vektorer.

Sætning. Formel for determinanten. 

Determinanten mellem vektorerne

\vec{a} = \binom{a_1}{a_2}

\vec{b} = \binom{b_1}{b_2}

er givet ved

\det(\vec{a},\vec{b}) = a_1b_2 - a_2b_1

Determinanten skrives også nogle gange som et skema:

\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}

Formlen for determinanten svarer til at gange over kors i skemaet og sætte minus mellem leddene:

Eksempel: Bestem determinanten mellem to vektorer

To vektorer er givet ved

\begin{align*} &\vec{a} = \binom{-4}{1} \\ &\vec{b} = \binom{0}{-5} \end{align*}

Vi bestemmer...

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind