Determinant

Denne side handler om determinanten mellem to vektorer i planen.

Indhold

Definition af determinanten
- Eksempel: Bestem determinanten mellem vektor a og vektor b
Formel for determinanten
- Eksempel: Bestem determinanten mellem to vektorer
Determinanten mellem vektor b og vektor a
- Eksempel: Bestem determinanten
Determinanten og vinklen mellem to vektorer
- Eksempel: Bestem vinklen mellem vektor a og vektor b
Arealbestemmelse
Opgaver om determinanter

Definition af determinanten

Determinanten mellem to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ noteres $\det(\vec{a},\vec{b})$ .Vi benytter skalarproduktet til at definere determinanten mellem to vektorer:

Definition. Determinant.

Determinanten mellem to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er givet ved

$\det(\vec{a},\vec{b}) = \hat{\vec{a}} \cdot \vec{b}$

$\hat{\vec{a}}$ er tværvektoren til $\vec{a}$ .

Da skalarproduktet $\hat{\vec{a}} \cdot \vec{b}$ er et tal, så er determinanten også et tal.

Eksempel: Bestem determinanten mellem vektor a og vektor b

To vektorer er givet ved

$\begin{align*} &\vec{a} = \binom{2}{1} \\ &\vec{b} = \binom{-3}{8} \end{align*}$

Vi bestemmer tværvektoren $\hat{\vec{a}}$ :

$\hat{\vec{a}} = \binom{-1}{2}$

Vi kan nu bestemme determinanten:

$\begin{align*} \det({\vec{a},\vec{b}}) &= \binom{-1}{2} \cdot \binom{-3}{8} \\ &= -1 \cdot (-3) + 2 \cdot 8 \\ &= 3 + 16 \\ &= 19 \end{align*}$

Formel for determinanten

Sætningen herunder indeholder en formel for determinanten mellem to vektorer.

Sætning. Formel for determinanten.

Determinanten mellem vektorerne

$\vec{a} = \binom{a_1}{a_2}$

$\vec{b} = \binom{b_1}{b_2}$

er givet ved

$\det(\vec{a},\vec{b}) = a_1b_2 - a_2b_1$

Determinanten skrives også nogle gange som et skema:

$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$

Formlen for determinanten svarer til at gange over kors i skemaet og sætte minus mellem leddene:

Eksempel: Bestem determinanten mellem to vektorer

To vektorer er givet ved

$\begin{align*} &\vec{a} = \binom{-4}{1} \\ &\vec{b} = \binom{0}{-5} \end{align*}$

Vi bestemmer...