Bevis for længden af en vektor

På denne side finder du to beviser. Først beviser vi formlen for længden af en vektor, og derefter beviser vi formlen for længden af en vektor mellem to punkter.

Længden af en vektor

Her beviser vi nedenstående formel for længden af en vektor.

Sætning. Længden af en vektor.

En vektor \vec{u} er givet ved

\vec{u} = \binom{u_1}{u_2}

Længden af \vec{u} er

\left | \vec{u} \right | = \sqrt{(u_1)^2 + (u_2)^2}

Bevis

På figuren herunder har vi indtegnet vektoren \vec{u} i et koordinatsystem.

Vektoren

\vec{u} = \binom{u_1}{u_2}

kan opdeles i komposanterne u_1\cdot \vec{i} og u_2\cdot \vec{j}, hvor \vec{i} og \vec{j} er basisvektorer. Længden af komposanterne er hhv. u1 og u2.

Da u_1\cdot \vec{i} er parallel med basisvektor \vec{i}, og u_2\cdot \vec{j} er parallel med basisvektor \vec{j}, så står de to komposanter vinkelret på hinanden, dvs. at de er ortogonale. De tre vektorer \vec{u}, u_1\cdot \vec{i} og u_2\cdot \vec{j}danner derfor en retvinklet trekant med sidelængderne |\vec{u}|, u1 og u2. Ifølge Pythagoras’ sætning, så e...

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind