Beviser

I dette kapitel har vi samlet en række beviser inden for vektorregning, som du fx kan bruge til mundtlig eksamen.

Kapitlets opbygning

På siden Beviser med vektorkoordinater beviser vi en række regneregler for vektorers koordinater, samt hvordan vi bestemmer koordinaterne til en vektor mellem to punkter.

Vi viser formlen for længden af en vektor og formlen for længden af en vektor mellem to punkter på siden Bevis for længden af en vektor.

Siden Beviser med retningsvinklen indeholder et bevis for, hvordan vi bestemmer en enhedsvektor med samme retning som en egentlig vektor samt et bevis for sammenhængen mellem en vektors retningsvinkel og koordinater.

Vi viser en række regneregler for skalarprodukt på siden Bevis for regneregler for skalarprodukt.

På siden Beviser med vinklen mellem to vektorer viser vi, at når \vec{a} og \vec{b} er to vektorer og v er vinklen mellem dem, så er \vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} |\cos(v). Vi viser også, hvordan skalarproduktet af to vektorer kan bruges til at afgøre, om vinklen mellem vektorerne er spids, stump eller ret, samt at skalarproduktet er 0, hvis og kun hvis vektorerne er ortogonale.

Vi viser, at hvis \hat{\vec{a}} er tværvektor til \vec{a}, så er | \hat{\vec{a}} | = |\vec{a} | og \hat{\vec{a}} \perp \vec{a} på siden Beviser med tværvektorer.

På siden Beviser med determinanten viser vi, at \det(\vec{a},\vec{b}) = a_1b_2 - a_2b_1, og at \det(\vec{b},\vec{a})= -\det(\vec{a},\vec{b}).

På siden Beviser med parallelle vektorer beviser vi, at vektorerne \vec{a} og \vec{b} er parallelle, hvis og kun hvis determinanten mellem vektorerne er 0. Derudover benytter vi definitionen af determinanten til at vise, at vektorerne er parallelle, hvis og kun hvis \hat{\vec{a}} \cdot \vec{b} = 0.

Sidst i kapitlet viser vi formlen for projektion af en vektor på en vektor og formlen for længden af projektionsvektoren. Du finder beviserne på siden Bevis for projektion af vektor på vektor.