Beviser med vinklen mellem to vektorer
På denne side beviser vi tre sætninger om vinklen mellem to vektorer.
Skalarprodukt og vinklen mellem vektorer
Her beviser vi nedenstående sætning om sammenhængen mellem skalarproduktet af to vektorer og vinklen mellem de samme to vektorer.
Bevis
Beviset for sætningen består af to dele: Først beviser vi, at sætningen gælder, når og
ikke er parallelle. Derefter beviser vi, at sætningen også gælder, når
og
er parallelle.
Vi antager, at vektorerne ikke er parallelle
Da og
ikke er parallelle, så danner de en vinkel v, når vi afsætter dem i samme punkt:
Vi tilføjer vektoren :
De tre vektorer danner en trekant med sidelængderne ,
og
. Vi kan beskrive sammenhængen mellem sidelængderne med cosinus-relationen:
Vi omskriver nu ved at benytte regnereglerne for skalarprodukt.
Ved at benytte cosinus-relationen og ved at omskrive med regnereglerne for skalarprodukt, har vi fundet to udtryk for
. Vi sætter de to udtryk lig med hinanden:
Vi har nu bevist, at sætningen gælder, når og
ikke er parallelle.
Vi antager, at vektorerne er parallelle
Da og
er parallelle, så findes der et tal k, så
Dermed er
Vi ...