Beviser med vinklen mellem to vektorer

På denne side beviser vi tre sætninger om vinklen mellem to vektorer.

Skalarprodukt og vinklen mellem vektorer

Her beviser vi nedenstående sætning om sammenhængen mellem skalarproduktet af to vektorer og vinklen mellem de samme to vektorer.

Sætning. Sammenhængen mellem skalarproduktet og vinklen mellem vektorerne.

Der er følgende sammenhæng mellem skalarproduktet af to vektorer \vec{a} og \vec{b} og vinklen v mellem vektorerne:

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} |\cos(v)

Dvs. at

\cos(v) =\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}

Bevis

Beviset for sætningen består af to dele: Først beviser vi, at sætningen gælder, når \vec{a} og \vec{b} ikke er parallelle. Derefter beviser vi, at sætningen også gælder, når \vec{a} og \vec{b} er parallelle.

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene og pilene.

Vi antager, at vektorerne ikke er parallelle

Da \vec{a} og \vec{b} ikke er parallelle, så danner de en vinkel v, når vi afsætter dem i samme punkt:

Vi tilføjer vektoren \vec{a}-\vec{b}:

De tre vektorer danner en trekant med sidelængderne |\vec{a}|, |\vec{b}| og |\vec{a}-\vec{b}|. Vi kan beskrive sammenhængen mellem sidelængderne med cosinus-relationen:

|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(v)

Vi omskriver nu |\vec{a}-\vec{b}|^2 ved at benytte regnereglerne ...

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind