Beviser med vinklen mellem to vektorer

På denne side beviser vi tre sætninger om vinklen mellem to vektorer.

Indhold

Skalarprodukt og vinklen mellem vektorer
Spids, ret eller stump vinkel
Skalarproduktet er 0, hvis og kun hvis vektorerne er ortogonale

Skalarprodukt og vinklen mellem vektorer

Her beviser vi nedenstående sætning om sammenhængen mellem skalarproduktet af to vektorer og vinklen mellem de samme to vektorer.

Sætning. Sammenhængen mellem skalarproduktet og vinklen mellem vektorerne.

Der er følgende sammenhæng mellem skalarproduktet af to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ og vinklen v mellem vektorerne:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} |\cos(v)$

Dvs. at

$\cos(v) =\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}$

Bevis

Beviset for sætningen består af to dele: Først beviser vi, at sætningen gælder, når $\vec{a}$ og $\vec{b}$ ikke er parallelle. Derefter beviser vi, at sætningen også gælder, når $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er parallelle.

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene og pilene.

Vi antager, at vektorerne ikke er parallelle

Da $\vec{a}$ og $\vec{b}$ ikke er parallelle, så danner de en vinkel v, når vi afsætter dem i samme punkt:

Vi tilføjer vektoren $\vec{a}-\vec{b}$ :

De tre vektorer danner en trekant med sidelængderne $|\vec{a}|$ , $|\vec{b}|$ og $|\vec{a}-\vec{b}|$ . Vi kan beskrive sammenhængen mellem sidelængderne med cosinus-relationen:

$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(v)$

Vi omskriver nu $|\vec{a}-\vec{b}|^2$ ved at benytte regnereglerne for skalarprodukt.

(\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b})

Ved at benytte cosinus-relationen og ved at omskrive $|\vec{a}-\vec{b}|^2$ med regnereglerne for skalarprodukt, har vi fundet to udtryk for $|\vec{a}-\vec{b}|^2$ . Vi sætter de to udtryk lig med hinanden: