Beviser med determinanten

Her beviser vi to sætninger om determinanter. Den ene er en formel, der kan bruges til at bestemme determinanten mellem to vektorer. Den anden sætning beskriver sammenhængen mellem determinanten mellem \vec{a} og \vec{b} og determinanten mellem \vec{b} og \vec{a}.

Formel for determinanten

Her beviser vi nedenstående formel, der kan bruges til at bestemme determinanten mellem to vektorer.

Sætning. Formel for determinanten. 

Determinanten mellem vektorerne

\vec{a} = \binom{a_1}{a_2}

\vec{b} = \binom{b_1}{b_2}

er givet ved

\det(\vec{a},\vec{b}) = a_1b_2 - a_2b_1

Bevis

Vi beviser formlen for determinanten mellem to vektorer ved at benytte definitionen af determinanten mellem vektorerne og definitionen af skalarproduktet af to vektorer.

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene.

\det(\vec{a},\vec{b})=\hat{\vec{a}}\cdot \vec{b}    =-a_2b_1 + a_1b_2    =a_1 b_2-a_2 b_1

Sætningen er nu bevist.

\square

Determinanten mellem vektor b og vektor a

Her beviser vi sammenhængen mellem determinanten mellem \vec{a} og \vec{b} og determinanten mellem \vec{b} og \vec{a}.

Sætning. Determinanten mellem \vec{b} og \vec{a}.

Hvis \vec{a} og \vec{b} er to vektorer, så er

\det(\vec{b},\vec{a}) = -\det(\vec{a},\vec{b})

Bevis

Vi benytter formlen for det...

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind