Bevis for projektion af vektor på vektor

Her beviser vi formlen for projektionen af en vektor på en anden vektor samt formlen for længden af en projektionsvektor.

Projektion af vektor på vektor

Her beviser vi nedenstående sætning om projektionen af en vektor \vec{b} på en anden vektor \vec{a}.

Når \vec{a} og \vec{b} er egentlige vektorer, så er \vec{b_a} projektionen af \vec{b} på \vec{a}. Projektionen er givet ved

\vec{b_a} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2}\vec{a}

Bevis

Vektoren \vec{b_a} er projektionen af \vec{b}\vec{a}:

Vektoren, der begynder i \vec{b_a}'s endepunkt og ender i \vec{b}'s endepunkt, kalder vi \vec{c}:

Vi ved tre ting om vektorerne \vec{a}, \vec{b}, \vec{b_a} og \vec{c}:

  • Ifølge indskudssætningen er

\vec{b_a} + \vec{c} = \vec{b}

  • \vec{a} og \vec{c} er ortogonale, dvs. at

\vec{a} \cdot \vec{c} = 0

  • \vec{b_a} og \vec{a} er parallelle, så der findes en konstant k, så

\vec{b_a} = k \vec{a}

Vi beviser sætningen ved at gøre brug af de tre ovenstående punkter. Først isolerer vi \vec{c} i den første ligning \vec{b_a} + \vec{c} = \vec{b}:

\begin{align*} & \ \ \vec{b_a} + \vec{c} = \vec{b} \\ \Downarrow \ \ & \\ & \ \ \vec{c} = \vec{b} - \vec{b_a} \end{align*}

Vi indsætter ovenstående ligning \vec{c} = \vec{b} - \vec{b_a} i ligningen \vec{a} \cdot \vec{c} = 0:

\begin{align*} & \ \ \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \\ \Downarrow \ \ & \\ & \ \ \vec{a} \cdot ( \vec{b}-\vec{b_a}) = 0 \end{align*}

Derefter indsætter vi ligningen \vec{b_a} = k \vec{a} i ovenstående ligning \vec{a} \cdot ( \vec{b}-\vec{b_a}) = 0:

\begin{align*} & \vec{a} \cdot ( \vec{b}-\vec{b_a}) = 0\\[0.5em] \Downarrow \ \ & \\[0.5em] &\vec{a} \cdot ( \vec{b}-k \vec{a}) = 0 \end{align*}

Vi benytter nu regnereglerne for skalarprodukt til at isolere konstanten k i ligningen:

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over pilene.

 \vec{a} \cdot ( \vec{b}-k \vec{a}) = 0  \vec{a} \cdot \vec{b} -k\vec{a} \cdot \vec{a} = 0  \vec{a} \cdot \vec{b} -k |\vec{a}|^2 = 0  ...

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind