Vektorer i planen
  1. Matematik
  2. Vektorer i planen
  3. Beviser
[3]

Beviser med vektorkoordinater

Her beviser vi tre regneregler for vektorkoordinater, samt hvordan vi bestemmer koordinaterne til en vektor mellem to punkter.

Indhold

Regneregler for vektorkoordinater

Her beviser vi tre regneregler for vektorkoordinater.

Sætning. Regneregler for vektorers koordinater.

To vektorer er givet ved

\vec{u} = \binom{u_1}{u_2}

\vec{v} = \binom{v_1}{v_2}

k er en konstant.

Der gælder følgende:

1)\vec{u}+\vec{v} = \binom{u_1}{u_2} + \binom{v_1}{v_2} = \binom{u_1+v_1}{u_2+v_2}(summen af to vektorer)2)\vec{u}-\vec{v} = \binom{u_1}{u_2} - \binom{v_1}{v_2} = \binom{u_1-v_1}{u_2-v_2}(differensen mellem to vektorer)3)k\vec{u} = k\cdot \binom{u_1}{u_2}= \binom{ku_1}{ku_2}(en vektor gange et tal)

Vi beviser regnereglerne ved at bruge definitionen af vektorkoordinater og regnereglerne for vektorer.

Bevis for summen af to vektorer

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene.

\vec{u} + \vec{v}=u_1 \cdot \vec{i} + u_2 \cdot \vec{j} + v_1 \cdot \vec{i} + v_2 \cdot \vec{j}    =u_1 \cdot \vec{i} + v_1 \cdot \vec{i} + u_2 \cdot \vec{j} + v_2 \cdot \vec{j}    =(u_1 + v_1) \cdot \vec{i} + (u_2 + v_2) \cdot \vec{j}

Ifølge definitionen af vektorkoordinater, så er konstanterne foran \vec{i} og \vec{j} i ligningen \vec{u} + \vec{v}'s koordinater, så

\vec{u} + \vec{v} = \binom{u_1+v_1}{u_2+v_2}

Vi har nu bevist den første regneregel.

\square

Bevis for differensen mellem to vektorer

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene.

\vec{u} - \vec{v}=u_1 \cdot \vec{i} + u_2 \cdot \vec{j} - (v_1 \cdot \vec{i} + v_2 \cdot \vec{j})    =u_1 \cdot \vec{i} + u_2 \cdot \vec{j} - v_1 \cdot \vec{i} - v_2 \cdot \vec{j}    =u_1 \cdot \vec{i} + u_2 \cdot \vec{j} + (-v_1 \cdot \vec{i}) - v_2 \cdot \vec{j}    =u_1 \cdot \vec{i} + (-v_1 \cdot \vec{i}) + u_2 \cdot \vec{j} - v_2 \cdot \vec{j}    =(u_1 - v_1) \cdot \vec{i} + (u_2 - v_2) \cdot \vec{j}

Ifølge definitionen af vektorkoordinater, så er \vec{u} - \vec{v}'s koordinater konstanterne foran \vec{i} og \vec{j} i ligningen, så

\vec{u} - \vec{v} = \binom{u_1-v_1}{u_2-v_2}

Vi har nu bevist den anden regneregel.

\square

Bevis for en vektor gange et tal

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedst

...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind

BeviserBevis for længden af en vektor