Beviser med vektorkoordinater

Indhold

Regneregler for vektorkoordinater
Koordinaterne til en vektor mellem to punkter
- Bevis

Regneregler for vektorkoordinater

Sætning. Regneregler for vektorers koordinater.

Hvis to vektorer er givet ved

$\begin{align*} \vec{u} &= \binom{u_1}{u_2} \\[0.5em] \vec{v} &= \binom{v_1}{v_2} \end{align}$

og k er en konstant, så gælder der følgende:

$\begin{align*} &1) &&\quad \vec{u} + \vec{v} = \binom{u_1}{u_2} + \binom{v_1}{v_2} = \binom{u_1+v_1}{u_2+v_2} \\[2em] &2) &&\quad \vec{u} - \vec{v} = \binom{u_1}{u_2} - \binom{v_1}{v_2} = \binom{u_1 - v_1}{u_2 - v_2} \\[2em] &3) &&\quad k \cdot \vec{u} = k \cdot \binom{u_1}{u_2} = \binom{k \cdot u_1}{k \cdot u_2} \end{align}$

Du kan læse mere om vektorers koordinater på siden Vektorkoordinater.

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene.

Bevis for summen af to vektorer

u_1 \cdot \vec{i} + u_2 \cdot \vec{j} + v_1 \cdot \vec{i} + v_2 \cdot \vec{j}

Ifølge definitionen af vektorkoordinater, så er konstanterne foran $\vec{i}$ og $\vec{j}$ i ligningen $\vec{u} + \vec{v}$ 's koordinater, så

$\vec{u} + \vec{v} = \binom{u_1+v_1}{u_2+v_2}$

Vi har nu bevist den første regneregel.

$\square$

Bevis for differensen mellem to vektorer

Ifølge definitionen af vektorkoordinater, så er $\vec{u} - \vec{v}$ 's koordinater konstanterne foran $\vec{i}$ og $\vec{j}$ i ligningen, så

$\vec{u} - \vec{v} = \binom{u_1-v_1}{u_2-v_2}$

Vi har nu bevist den anden regneregel.

$\square$

Bevis for en vektor gange et tal

k \cdot (u_1 \cdot \vec{i} + u_2 \cdot \vec{j})

Koordina...

$\vec{u} + \vec{v}$	=	$u_1 \cdot \vec{i} + u_2 \cdot \vec{j} + v_1 \cdot \vec{i} + v_2 \cdot \vec{j}$

	=	$u_1 \cdot \vec{i} + v_1 \cdot \vec{i} + u_2 \cdot \vec{j} + v_2 \cdot \vec{j}$

	=	$(u_1 + v_1) \cdot \vec{i} + (u_2 + v_2) \cdot \vec{j}$

$\vec{u} - \vec{v}$	=	$u_1 \cdot \vec{i} + u_2 \cdot \vec{j} - (v_1 \cdot \vec{i} + v_2 \cdot \vec{j})$

	=	$u_1 \cdot \vec{i} + u_2 \cdot \vec{j} - v_1 \cdot \vec{i} - v_2 \cdot \vec{j}$

	=	$u_1 \cdot \vec{i} + u_2 \cdot \vec{j} + (-v_1 \cdot \vec{i}) - v_2 \cdot \vec{j}$

	=	$u_1 \cdot \vec{i} + (-v_1 \cdot \vec{i}) + u_2 \cdot \vec{j} - v_2 \cdot \vec{j}$

	=	$(u_1 - v_1) \cdot \vec{i} + (u_2 - v_2) \cdot \vec{j}$

$k\vec{u}$	=	$k \cdot (u_1 \cdot \vec{i} + u_2 \cdot \vec{j})$

	=	$ku_1 \cdot \vec{i} + ku_2 \cdot \vec{j}$