Projektion af vektor på vektor

Her kan du læse om projektion af en vektor på en anden vektor.

Vektorprojektion

På figuren herover ses to vektorer \vec{a} og \vec{b} afsat i punktet A. Vi vil bestemme projektionen af \vec{b} på \vec{a}.

Vi projicerer \vec{b}’s endepunkt vinkelret ned på den linje, som indeholder \vec{a}. Vi kalder dette punkt B. Projektionen af \vec{b} på \vec{a} er vektoren mellem A og B.

Projektionsvektoren noteres \vec{b_a}. Da \vec{b_a}’s begyndelses- og endepunkt ligger på den linje, der indeholder \vec{a}, så er \vec{b_a} og \vec{a} parallelle.

Sætning. Projektionen af \vec{b} på \vec{a}.

Når \vec{a} og \vec{b} er egentlige vektorer, så er \vec{b_a} projektionen af \vec{b} på \vec{a}. Projektionen er givet ved

\vec{b_a} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2}\vec{a}

Eksempel: Bestem projektionen af vektor b på vektor a

Vektorerne \vec{a} og \vec{b} er givet ved

\begin{align*} &\vec{a} = \binom{4}{2} \\[1em] &\vec{b} = \binom{2}{3} \end{align*}

Vi bestemmer \vec{a} \cdot \vec{b} og |\vec{a}|^2:

\begin{align*} \vec{a}\cdot\vec{b} &= 4 \cdot 2 + 2 \cdot 3 \\ &= 8 + 6 \\ &= 14 \\ \\ |\vec{a}|^2 &= \left ( \sqrt{4^2 + 2^2} \right )^2 \\ &= 4^2 + 2^2 \\ &= 16 + 4 \\ &= 20 \end{align*}

Derefter bestemmer vi projektionen \vec{b_a} af \vec{b} på \vec{a}:

\begin{align*} \vec{b_a} &= \frac{14}{20} \cdot \binom{4}{2} \\[0.5em] &= \binom{56/20}{28/20} \\[0.5em] &= \binom{14/5}{7/5} \end{align*}

Du kan se de tre vektorer på figuren herunder.

Eksempel: Bestem projektionen af vektor a på vektor b

To vektorer \vec{a} og \vec{b} er givet ved

\begin{align*} \vec{a} &= \binom{-2}{2} \\[1em] \vec{b} &= \binom{-5}{0} \\ \end{align*}

Vi bestemmer projektionen af \vec{a} på \vec{b}. Bemærk, at vi har byttet om på vektorerne, så v...

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind