Vektorer i planen

Her er vores kompendium om vektorer i planen. Emnet kaldes også vektorer i 2d.

Vektorregning i planen er en del af Matematik A, B og C på STX og HTX. Emnet kan også indgå som supplerende stof i Matematik A på HHX.

Du kan fx bruge kompendiet til at læse op på de begreber, du er usikker på, som hjælp til at skrive opgave, eller når du læser op til eksamen.

Kompendiets opbygning

Kompendiet indledes med en introduktion til begrebet "vektor" på siden Hvad er en vektor? Derefter gennemgår vi en række centrale begreber inden for vektorregning på siden Notation og begreber.

I nogle tilfælde kan det være nyttigt at udspænde en vektor mellem to punkter. Du kan læse mere om den type vektor på siden Vektor ud fra to punkter.

Siderne Summen af to vektorer, Differensen mellem to vektorer og En vektor gange et tal handler om, hvordan vi hhv. lægger vektorer sammen, trækker vektorer fra hinanden og ganger vektorer med tal. Du finder en oversigt over regneregler på siden Regneregler for vektorer.

På siden Vektorkoordinater gennemgår vi bl.a., hvordan vi definerer en vektors koordinater, hvordan koordinaterne noteres, og hvordan du afsætter en vektor i et koordinatsystem, når du kender koordinaterne. I kompendiet kan du også få hjælp til at bestemme koordinaterne til en stedvektor og en vektor mellem to punkter.

Derudover indeholder kompendiet en gennemgang af, hvordan vi bestemmer længden af en vektor og en vektors retningsvinkel.

På siden Skalarprodukt gennemgår vi en definition af skalarproduktet og nogle regneregler for beregning af skalarprodukt. Skalarproduktet kan bl.a. bruges til at bestemme vinklen mellem vektorer og til at afgøre, om to vektorer er ortogonale.

I kapitlet Determinant definerer vi determinanten mellem to vektorer, $\vec{a}$ og $\vec{b}$ . I definitionen indgår tværvektoren til $\vec{a}$ . Vi gennemgår også en formel for determinanten og beskriver, hvordan determinanten kan bruges til at bestemme vinklen mellem to vektorer. Determinanten kan også bruges til at afgøre om to vektorer er parallelle eller til at bestemme arealet af en figur udspændt af to vektorer. Det kan du læse mere om på siderne Parallelle vektorer, Arealet af et parallelogram udspændt af vektorer og Arealet af en trekant udspændt af vektorer.

Kompendiet indeholder også en gennemgang af vektorprojektion, og hvordan vi bestemmer længden af en projektionsvektor. Du kan finde gennemgangen på siden Projektion af vektor på vektor.

Beviserne inden for vektorregning er samlet i ét kapitel, hvor vi bl.a. beviser formlen for længden af en vektor, regneregler for skalarproduktet, sammenhængen mellem skalarproduktet af to vektorer og vinklen mellem dem samt sammenhængen mellem determinanten og parallelle vektorer. Vi har lavet en oversigt over beviserne på siden Beviser.

Sidst i kompendiet finder du siden Emneopgave, hvor du kan finde hjælp til at skrive en opgave om vektorregning, samt siden Noter, hvor du finder en kort opsummering af vigtige begreber. Du kan fx bruge notesiden, hvis du er interesseret i et overblik over emnet eller gerne vil have opfrisket nogle begreber.

Her får du et uddrag fra siden Hvad er en vektor?

Vi benytter pile (et linjestykke med en pilespids) til at repræsentere vektorer geometrisk.

Længden af pilen angiver størrelsen af vektoren.
Pilespidsen angiver retningen.

Da længden af pilen angiver vektorens størrelse, så omtales størrelsen af en vektor ofte som længden af vektoren. Længden af en vektor er aldrig negativ, så alle vektorer i planen kan repræsenteres med pile.

Enhver pil repræsenterer en bestemt vektor. Hvis en pil parallelforskydes, så har den nye pil samme længde og retning som den oprindelige pil. Den nye pil er derfor en repræsentant for samme vektor, som den oprindelige pil. Der er ikke nogen grænse for, hvor mange forskellige parallelforskydninger, vi kan lave, og der er derfor heller ingen grænse for, hvor mange repræsentanter vi kan tegne for en vektor...