Vektorkoordinater

Her gennemgår vi, hvordan vi kan beskrive en vektor i planen med koordinater.

Indhold

Basisvektorer
Definition af en vektors koordinater
Idéen bag definitionen af vektorers koordinater
- Eksempel: Opsplit vektor u i komposanter
Vektorers koordinater noteres lodret
- Eksempel: Vektor u’s koordinater
Sådan afsætter du en vektor ud fra koordinaterne
- Eksempel: Afsæt vektor u
- Eksempel: Vektorer tegnet ud fra koordinater
En vektors koordinater er uafhængige af vektorens placering i koordinatsystemet
Regneregler for vektorers koordinater
- Eksempel 1
- Eksempel 2

Basisvektorer

I koordinatsystemet herover har vi tegnet en vandret enhedsvektor $\vec{i}$ og en lodret enhedsvektor $\vec{j}$ . Vektorerne $\vec{i}$ og $\vec{j}$ begynder begge i punktet O(0,0).

Da $\vec{i}$ er en enhedsvektor, så har $\vec{i}$ længden 1, og $\vec{i}$ ’s endepunkt er derfor (1,0). Tilsvarende har $\vec{j}$ længden 1, og $\vec{j}$ ’s endepunkt er derfor (0,1).

Den vandrette enhedsvektor $\vec{i}$ og den lodrette enhedsvektor $\vec{j}$ kaldes for basisvektorer.

Definition af en vektors koordinater

Her definerer vi, hvad vi mener med en vektors "koordinater".

Definition. En vektors koordinater.

Koordinaterne til $\vec{u}$ er de to tal, u1 og u2, der opfylder, at

$\vec{u} = u_1 \cdot \vec{i} + u_2 \cdot \vec{j}$

Vi kalder u1 for 1. koordinaten og u2 for 2. koordinaten.

Idéen bag definitionen af vektorers koordinater

Det kan være svært umiddelbart at se, hvorfor det giver mening at definere en vektors koordinater på den måde, vi har gjort. Vi gennemgår her, hvad idéen er bag definitionen.

Enhver vilkårlig vektor $\vec{u}$ har en repræsentant, der begynder i punktet O(0,0). Vi afsætter denne repræsentant i samme koordinatsystem som enhedsvektorerne:

Endepunktet for $\vec{u}$ kalder vi U, og punkt U’s koordinater kalder vi (u1,u2). Det punkt på x-aksen, der ligger lodret under U, kalder vi for V. Punktet V har koordinaterne (u1,0). Afstanden mellem O og V er u1, mens afstanden mellem V og U er u2.

Ifølge indskudsreglen, så er

$\overrightarrow{OU} = \overrightarrow{OV} + \overrightarrow{VU}$

Da afstanden mellem O og V er u1, så har $\overrightarrow{OV}$ længden u1. Basisvektoren $\vec{i}$ er en enhedsvektor og har derfor længden 1. $\overrightarrow{OV}$ er altså u1 gange så lang som $\vec{i}$ . Da...