Vektorkoordinater

Her gennemgår vi, hvordan vi kan beskrive en vektor i planen med koordinater.

Basisvektorer

I koordinatsystemet herover har vi tegnet en vandret enhedsvektor \vec{i} og en lodret enhedsvektor \vec{j}. Vektorerne \vec{i} og \vec{j} begynder begge i punktet O(0,0).

Da \vec{i} er en enhedsvektor, så har \vec{i} længden 1, og \vec{i}’s endepunkt er derfor (1,0). Tilsvarende har \vec{j}længden 1, og \vec{j}’s endepunkt er derfor (0,1).

Den vandrette enhedsvektor \vec{i} og den lodrette enhedsvektor \vec{j} kaldes for basisvektorer.

Definition af en vektors koordinater

Her definerer vi, hvad vi mener med en vektors "koordinater".

Definition. En vektors koordinater.

Koordinaterne til \vec{u} er de to tal, u1 og u2, der opfylder, at

\vec{u} = u_1 \cdot \vec{i} + u_2 \cdot \vec{j}

Vi kalder u1 for 1. koordinaten og u2 for 2. koordinaten.

Idéen bag definitionen af vektorers koordinater

Det kan være svært umiddelbart at se, hvorfor det giver mening at definere en vektors koordinater på den måde, vi har gjort. Vi gennemgår her, hvad idéen er bag definitionen.

Enhver vilkårlig vektor \vec{u} har en repræsentant, der begynder i punktet O(0,0). Vi afsætter denne repræsentant i samme koordinatsystem som enhedsvektorerne:

Endepunktet for \vec{u} kalder vi U, og punkt U’s koordinater kalder vi (u1,u2). Det punkt på x-aksen, der ligger lodret under U, kalder vi for V. Punktet V har koordinaterne (u1,0). Afstanden mellem O og V er u1, mens afstanden mellem V og U er u2.

Ifølge indskudsreglen, så er

\overrightarrow{OU} = \overrightarrow{OV} + \overrightarrow{VU}

Da afstanden mellem O og V er u1, så har \overrightarrow{OV} længden u1. Basisvektoren \vec{i} er en enhedsvektor og har derfor længden 1. \overrightarrow{OV} er altså u1 gange så lang som \vec{i}. Da...

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind