Bevis for regneregler for skalarprodukt

På denne side beviser vi fire regneregler for skalarproduktet af to vektorer. De fire regneregler er beskrevet i nedenstående sætning.

Sætning. Regneregler for skalarprodukt.

Hvis

\begin{align*} &\vec{a} = \binom{a_1}{a_2} \\[0.5em] &\vec{b} = \binom{b_1}{b_2} \\[0.5em] &\vec{c} = \binom{c_1}{c_2} \\[0.5em] \end{align*}

er tre vektorer og k er et tal, så gælder der følgende:

1)\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^22)\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}3)\vec{a} \cdot ( \vec{b} + \vec{c} ) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}4)\vec{a} \cdot (k \vec{b}) = k (\vec{a} \cdot \vec{b})

Herunder finder du et bevis for hver af de fire regneregler.

Bevis for regneregel 1

Vi beviser den første regneregel ved at omskrive udtrykket \vec{a}^2 og benytte definitionen af skalarproduktet.

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene.

\vec{a}^2=\vec{a}\cdot\vec{a} \\[1em]    =a_1a_1 + a_2a_2    =(a_1)^2 + (a_2)^2    =\left ( \sqrt{(a_1)^2 + (a_2)^2} \right ) ^2    =\left | \vec{a} \right |^2

Vi har nu bevist regneregel 1.

\square

Bevis for regneregel 2

Vi beviser regnereglen ved at benytte definitionen af skalarproduktet og derefter omskrive udtrykket.

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene.

\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1b_1 + a_2b_2    =b_1 a_1 + b_2 a_2    =\vec{b} \cdot \vec{a}

Vi har nu bevist den anden regneregel.

\square

Bevis for regneregel 3

Vi beviser regnereglen ved at benytte regneregler for vektorers koordinater og definitionen af skalarproduktet af to vektorer.

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene.

\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c})=\binom{a_1}{a_2} \cdot \left ( \binom{b_1}{b_2} + \binom{c_1}{c_2} \right )    =\binom{a_1}{a_2} \cdot \binom{b_1 + c_1}{b_2 + c_2}    =a_1 (b_1 + c_1) + a_2 (b_2 + c_2)    =a_1 b_1 + a_1 c_1 + a_2 b_2 + a_2 c_2    =a_1b_1 + a_2 b_2 + a_1 c_1 + a_2 c_2    =\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}

Vi har nu bevist regneregel 3.

\square

Bevis for regneregel 4

Vi beviser regnereglen ved at benytte definitionen af skalarproduktet af to vektorer og efterfølgende omskrive udtrykket.

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene.

\vec{a} \cdot (k\vec{b})=\binom{a_1}{a_2} \cdot \binom{kb_1}{kb_2}    =a_1kb_1 + a_2 kb_2    =k a_1 b_1 + ka_2 b_2    =k (a_1 b_1 + a_2 b_2)    =k (\vec{a} \cdot \vec{b})

Vi har nu bevist den fje...

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind