Vektorer i planen

[44]

Bevis for regneregler for skalarprodukt

Sætning. Regneregler for skalarprodukt.

Hvis $\vec{a}$ , $\vec{b}$ og $\vec{c}$ er vektorer, og k er et tal, så gælder der følgende:

$\begin{align*} &1) && \vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \\[1em] &2) && \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \\[1em] &3) && \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} \\[1em] &4) && \vec{a} \cdot (k \cdot \vec{b}) = k \cdot (\vec{a}\cdot \vec{b}) \end{align}$

Du kan læse mere om skalarprodukter på siden Skalarprodukt.

Herunder finder du et bevis for hver af de fire regneregler.

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene.

Bevis for regneregel 1

Vi beviser den første regneregel ved at omskrive udtrykket $\vec{a}^2$ og benytte definitionen af skalarproduktet.

\vec{a}^2

\vec{a}\cdot\vec{a} \\[1em]

Vi har nu bevist regneregel 1.

$\square$

Bevis for regneregel 2

Vi beviser regnereglen ved at benytte definitionen af skalarproduktet og derefter omskrive udtrykket:

\vec{a} \cdot \vec{b}

a_1b_1 + a_2b_2

Vi har nu bevist den anden regneregel.

$\square$

Bevis for regneregel 3

Vi beviser regnereglen ved at benytte regneregler for vektorers koordinater og d...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind