Bevis for regneregler for skalarprodukt

På denne side beviser vi fire regneregler for skalarproduktet af to vektorer. De fire regneregler er beskrevet i nedenstående sætning.

Sætning. Regneregler for skalarprodukt.

Hvis

\begin{align*} &\vec{a} = \binom{a_1}{a_2} \\[0.5em] &\vec{b} = \binom{b_1}{b_2} \\[0.5em] &\vec{c} = \binom{c_1}{c_2} \\[0.5em] \end{align*}

er tre vektorer og k er et tal, så gælder der følgende:

1)\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^22)\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}3)\vec{a} \cdot ( \vec{b} + \vec{c} ) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}4)\vec{a} \cdot (k \vec{b}) = k (\vec{a} \cdot \vec{b})

Herunder finder du et bevis for hver af de fire regneregler.

Bevis for regneregel 1

Vi beviser den første regneregel ved at omskrive udtrykket \vec{a}^2 og benytte definitionen af skalarproduktet.

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene.

\vec{a}^2=\vec{a}\cdot\vec{a} \\[1em]    =a_1a_1 + a_2a_2    =(a_1)^2 + (a_2)^2    =\left ( \sqrt{(a_1)^2 + (a_2)^2} \right ) ^2    =\left | \vec{a} \right |^2

Vi har nu bevist regneregel 1.

\square

Bevis for regneregel 2

Vi beviser regnereglen ved at benytte definitionen af skalarproduktet og derefter omskrive udtrykket.

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene.

\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1b_1 + a_2b_2    =b_1 a_1 + b_2 a_2    ...

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind