Beviser med tværvektorer

Her beviser vi punkt 1 og 2 i sætningen herunder, der beskriver sammenhængen mellem en egentlig vektor og dens tværvektor.

Du kan læse mere om tværvektorer på siden Tværvektor.

Sætning. Tværvektor.

Hvis

\vec{a} = \binom{a_1}{a_2}

er en egentlig vektor, så er der følgende sammenhæng mellem \vec{a} og tværvektoren \hat{\vec{a}}:

1) \hat{\vec{a}} har samme længde som \vec{a}:

\left | \hat{\vec{a}} \right | = |\vec{a}|

2) \hat{\vec{a}} og \vec{a} er ortogonale:

\hat{\vec{a}} \perp \vec{a}

3) \hat{\vec{a}} fremkommer ved at dreje \vec{a} 90° i positiv omløbsretning (mod uret).

Bevis for 1)

Vi beviser, at tværvektoren \hat{\vec{a}} til en egentlig vektor \vec{a} har samme længde som \vec{a}ved at bestemme længden af \hat{\vec{a}} med formlen for længden af en vektor.

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene.

| \hat{\vec{a}} |=\sqrt{(-a_2)^2 + (a_1)^2}    =\sqrt{(a_2)^2 + (a_1)^2}    =\sqrt{(a_1)^2 + (a_2)^2}    =\left | \vec{a} \right |

Sætningen er nu bevist.

\square

Bevis for 2)

To vektorer er ortogonale, hvis og kun hvis skalarproduktet af vektorerne er 0. Vi beviser derfor, at \hat{\vec{a}} og \vec{a} er ortogonale ved at vise, at skalarproduktet af de to vektorer er 0.

Få forklaringer til alle u...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind