Beviser med tværvektorer og parallelle vektorer

Tværvektorer

Sætning. Tværvektor.

Hvis \vec{a} er en egentlig vektor, så er der følgende sammenhæng mellem \vec{a} og tværvektoren \hat{\vec{a}}:

1) \hat{\vec{a}} har samme længde som \vec{a}:

| \hat{\vec{a}} | = |\vec{a}|

2) \hat{\vec{a}} og \vec{a} er ortogonale:

\hat{\vec{a}} \perp \vec{a}

3) \hat{\vec{a}} fremkommer ved at dreje \vec{a} 90° i positiv omløbsretning (mod uret).

Læs mere om tværvektorer og se eksempler på beregning af tværvektorer på siden Tværvektor.

Få forklaringer til alle udregningerne i beviserne ved at holde musen over lighedstegnene.

Bevis for 1)

Vi kalder koordinaterne til \vec{a} for a1 og a2:

\vec{a} = \binom{a_1}{a_2}

Vi beviser, at tværvektoren \hat{\vec{a}} har samme længde som \vec{a} ved at bestemme længden af \hat{\vec{a}} med formlen for længden af en vektor.

| \hat{\vec{a}} | = \sqrt{(-a_2)^2 + (a_1)^2}
   
  = \sqrt{(a_2)^2 + (a_1)^2}
   
  = \sqrt{(a_1)^2 + (a_2)^2}
   
  = \left | \vec{a} \right |

Sætningen er nu bevist.

\square

Bevis for 2)

Vi kalder koordinaterne til \vec{a} for a1 og a2:

\vec{a} = \binom{a_1}{a_2}

Vi ved, at to vektorer er ortogonale, hvis og kun hvis skalarproduktet af vektorerne er 0. Vi beviser derfor, at \hat{\vec{a}} og \vec{a} er ortogonale ved at vise, at skalarproduktet af de to vektorer er 0.

\hat{\vec{a}} \cdot \vec{a} = -a_2 a_1 + a_1 a_2
   
  = -a_1 a_2 + a_1 a_2
   
  = 0

Vi har nu bevist sætningen.

\square

Parallelle vektorer og determinanten

Sætning. Parallelle vektorer og determinanten.

Vektorerne \vec{a} og \vec{b} er parallelle, hvis og kun hvis

\det(\vec{a},\vec{b}) = 0

Du kan se eksempler, hvor vi bruger ovenstående sætning til at undersøge om to vektorer er parallelle, på siden Parallelle vektorer.

Bevis

Vi beviser sætningen ved at benytte definitionen af determinanten og sætningen om skalarproduktet og ortogonale vektorer.

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over pilene.

 \det(\vec{a},\vec{b})=0
 ⇕    
 \hat{\vec{a}} \cdot \vec{b}=0
 ⇕    
 \hat{\vec{a}} \perp \vec{b}  
 ⇕    
 \vec{a} \parallel \vec{b}  

Vi har nu bevist sætningen.

\square

Parallelle vektorer og skalarproduktet

Sætning. Parallelle vektorer og skalarproduktet.

Vektorerne \vec{a} og \vec{b}er parallelle, hvis og kun hvis

\hat{\vec{a}}\cdot \vec{b} = 0

\hat{\vec{a}} er tværvektoren til \vec{a}.

Du kan se et eksempel, hvor vi bruger ovenstående sætning til at undersøge om to vektorer er parallelle, på siden Parallelle vektorer.

Bevis

Vi beviser sætningen ved at tage udgangspunkt i skalarproduktet.

Få forklaringer til alle

...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind