Beviser med tværvektorer og parallelle vektorer

Indhold

Tværvektorer
Parallelle vektorer og determinanten
Parallelle vektorer og skalarproduktet

Tværvektorer

Sætning. Tværvektor.

Hvis $\vec{a}$ er en egentlig vektor, så er der følgende sammenhæng mellem $\vec{a}$ og tværvektoren $\hat{\vec{a}}$ :

1) $\hat{\vec{a}}$ har samme længde som $\vec{a}$ :

$| \hat{\vec{a}} | = |\vec{a}|$

2) $\hat{\vec{a}}$ og $\vec{a}$ er ortogonale:

$\hat{\vec{a}} \perp \vec{a}$

3) $\hat{\vec{a}}$ fremkommer ved at dreje $\vec{a}$ 90° i positiv omløbsretning (mod uret).

Læs mere om tværvektorer og se eksempler på beregning af tværvektorer på siden Tværvektor.

Få forklaringer til alle udregningerne i beviserne ved at holde musen over lighedstegnene.

Bevis for 1)

Vi kalder koordinaterne til $\vec{a}$ for a1 og a2:

$\vec{a} = \binom{a_1}{a_2}$

Vi beviser, at tværvektoren $\hat{\vec{a}}$ har samme længde som $\vec{a}$ ved at bestemme længden af $\hat{\vec{a}}$ med formlen for længden af en vektor.

Sætningen er nu bevist.

$\square$

Bevis for 2)

Vi kalder koordinaterne til $\vec{a}$ for a1 og a2:

$\vec{a} = \binom{a_1}{a_2}$

Vi ved, at to vektorer er ortogonale, hvis og kun hvis skalarproduktet af vektorerne er 0. Vi beviser derfor, at $\hat{\vec{a}}$ og $\vec{a}$ er ortogonale ved at vise, at skalarproduktet af de to vektorer er 0.