Omdrejningslegeme

Hvad er et omdrejningslegeme?

   

Når området under grafen for en kontinuert funktion drejes 360° om førsteaksen, så fremkommer der en rumlig figur, der kaldes et omdrejningslegeme. På figurerne herover har vi markeret arealet under grafen for en funktion og tegnet det tilhørende omdrejningslegeme. Omdrejningslegemet på ovenstående figur har tilnærmelsesvist form som en tragt.

Eksempel

En funktion f er givet ved

f(x) = \frac{5}{36}x^3 - \frac{5}{3}x^2 +5x

Herunder har vi skraveret området under grafen for f i intervallet [0;6]:

Herunder ses det omdrejningslegeme, der fremkommer, når området under grafen for f i intervallet [0;6] drejes 360° om førsteaksen.

Rumfang af et omdrejningslegeme

Vi kan bestemme rumfanget (volumen) af et omdrejningslegeme med integralregning.

Område mellem førsteaksen og grafen for f drejes 360° om førsteaksen

Sætning. Rumfang af omdrejningslegeme (førsteakse og graf).

Hvis funktionen f er kontinuert i intervallet [a;b], så fremkommer der et omdrejningslegeme, når området mellem førsteaksen, grafen for f og linjerne givet ved x = a og x = b drejes 360° om førsteaksen. Omdrejningslegemets rumfang er givet ved

V = \pi \int_a^b (f(x))^2 dx

Vi beviser sætningen på siden Bevis for rumfanget af et omdrejningslegeme.

Eksempel: Bestem, hvor meget en skål kan indeholde

Funktionen f er givet ved

f(x) = \frac{1}{60}(x+3)^3 + 5

        

Det indre af en skål har form som det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for funktionen f i intervallet [0;5] drejes 360° om førsteaksen. Omdrejningslegemet kan ses på figuren herover. Enheden på alle akserne er cm.

Vi vil bestemme, hvor meget ...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind