Bevis for rumfanget af et omdrejningslegeme

Rumfang af et omdrejningslegeme om førsteaksen

Sætning. Rumfang af omdrejningslegeme (førsteakse og graf).

Hvis funktionen f er kontinuert i intervallet [a;b], så fremkommer der et omdrejningslegeme, når området mellem førsteaksen, grafen for f og linjerne givet ved x = a og x = b drejes 360° om førsteaksen. Omdrejningslegemets rumfang er givet ved

V = \pi \int_a^b (f(x))^2 dx

Forskellige lærebøger indeholder forskellige beviser for sætningen. Hvilket bevis, du har fået gennemgået, afhænger derfor af, hvilken lærebog du har. Vi har taget to beviser med:

  1. Det første bevis tager udgangspunkt i en volumenfunktion V. Fremgangsmåden i beviset minder om fremgangsmåden i beviset for Integralregningens hovedsætning.
  2. I det andet bevis bestemmer vi rumfanget af små "skiver" af omdrejningslegemet og derefter bestemmer vi omdrejningslegemets rumfang ved hjælp af grænseværdier.

Du kan se en række eksempler, hvor vi bestemmer rumfanget af et omdrejningslegeme, på siden Omdrejningslegeme.

Bevis 1 (ved hjælp af volumenfunktion)

Vi nøjes med at bevise, at sætningen gælder, når f er en positiv, voksende funktion. Vi lader derfor f være en funktion, der er positiv, voksende og kontinuert i intervallet [a;b].

Grafen for f, førsteaksen og linjerne givet ved x = a og x = b afgrænser en punktmængde. Når punktmængden drejes 360° om førsteaksen, så fremkommer der et omdrejningslegeme:

Vi lader nu x0 være et tal i intervallet [a;b]. Den del af omdrejningslegemet,...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind