Beviser med arealfunktioner

Arealfunktionen er en stamfunktion til f

Sætning. Integralregningens hovedsætning.

Hvis funktionen f er kontinuert og ikke-negativ på intervallet [a;b], så er arealfunktionen A med udgangspunkt i a en stamfunktion til f.

Beviset for sætningen kan ses på siden Bevis for Integralregningens hovedsætning.

Arealet af et område under en graf

Sætning. Areal af område under graf.

Hvis funktionen f er kontinuert og ikke-negativ i intervallet [a;b], så afgrænser grafen for f, førsteaksen og linjerne givet ved x = a og x = b et område M. Arealet af M er givet ved

A_M= \int _a^b f(x) dx

Vi har lavet en række eksempler, hvor vi bruger ovenstående sætning til at bestemme arealer. Du finder eksemplerne på siden Areal af område under graf.

Bevis

Vi lader f være en funktion, der er kontinuert og ikke-negativ i intervallet [a;b].

Arealfunktionen A med udgangspunkt i a er en stamfunktion til f. Vi benytter arealfunktionen til at bestemme nedenstående integral:

\int_{a}^{b}f(x)dx = \left [A(x) \right ]_a^b     = A(b) - A(a)     = A(b) - 0     = A(b)

A(b) er arealet af området mellem førsteaksen og grafen for f i intervallet [a;b]. Da M netop er området mellem førsteaksen og grafen for f i intervallet [a;b], så er A(b) arealet af M. Arealet af M er altså givet ved

\begin{align*} A_M &= A(b) \\[1em] &= \int _a^b f(x) dx \ \end{align}

\square

Arealet af et område mellem to grafer

Sætni

...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind