Beviser med arealfunktioner

Indhold

Arealfunktionen er en stamfunktion til f
Arealet af et område under en graf
Arealet af et område mellem to grafer
Arealet af et område mellem førsteaksen og grafen for en negativ funktion

Arealfunktionen er en stamfunktion til f

Sætning. Integralregningens hovedsætning.

Hvis funktionen f er kontinuert og ikke-negativ på intervallet [a;b], så er arealfunktionen A med udgangspunkt i a en stamfunktion til f.

Beviset for sætningen kan ses på siden Bevis for Integralregningens hovedsætning.

Arealet af et område under en graf

Sætning. Areal af område under graf.

Hvis funktionen f er kontinuert og ikke-negativ i intervallet [a;b], så afgrænser grafen for f, førsteaksen og linjerne givet ved x = a og x = b et område M. Arealet af M er givet ved

$A_M= \int _a^b f(x) dx$

Vi har lavet en række eksempler, hvor vi bruger ovenstående sætning til at bestemme arealer. Du finder eksemplerne på siden Areal af område under graf.

Bevis

Vi lader f være en funktion, der er kontinuert og ikke-negativ i intervallet [a;b].

Ifølge Integralregningens hovedsætning, så er arealfunktionen A med udgangspunkt i a en stamfunktion til f. Vi benytter arealfunktionen til at bestemme nedenstående integral:

A(b) er arealet af området mellem førsteaksen og grafen for f i intervallet [a;b]. Da M netop er området mellem førsteaksen og grafen for f i intervallet [a;b], så er A(b) arealet af M. Arealet af M er altså givet ved

$\begin{align*} A_M &= A(b) \\[1em] &= \int _a^b f(x) dx \ \end{align}$

$\square$

Arealet

...

$\int_{a}^{b}f(x)dx$	=	$\left [A(x) \right ]_a^b$

	=

	=

	=