Bevis for Integralregningens hovedsætning
Bevis
Vi nøjes med at bevise sætningen for voksende funktioner. Vi lader derfor f være en funktion, der er kontinuert, ikke-negativ og voksende på intervallet [a;b].
En funktion F er en stamfunktion til f, hvis
F '(x) = f(x)
Når vi skal vise, at arealfunktionen A er en stamfunktion til f, så skal vi altså vise, at A er differentiabel i ethvert x0 ∈ [a;b] med differentialkvotienten f(x0).
Vi nøjes med at vise, at A er differentiabel fra højre i x0 ∈ [a;b[ med differentialkvotienten f(x0), dvs. at
Vi lader derfor Δx > 0.
A(x0) er arealet af området mellem grafen for f og førsteaksen i intervallet [a;x0]:
Dermed er A(x0 + Δx) arealet af området mellem grafen for f og førsteaksen i intervallet [a;x0 + Δx].
A(x0 + Δx) - A(x0) er arealet af området mellem grafen for f og førsteaksen i intervallet [x0;x0 + Δx]. Området er markeret på figuren herunder:
Vi laver en vurdering af, hvor stort det grå område på figuren herover er, ved at se på to rektangler, hvis ...