Regneregler for bestemte integraler

Oversigt

Når vi bestemmer bestemte integraler, så kan vi benytte os af følgende regneregler:

\begin{align*} &\int_a^a f(x) dx = 0 \\[1.5em] &\int_{b}^{a} f(x) dx = - \int_{a}^{b} f(x) dx \\[1.5em] &\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx & & \text{Indskudss\ae tningen} \\[1.5em] &\int _a ^b (f(x) + g(x)) dx = \int _a ^b f(x) dx + \int _a ^b g(x) dx \qquad & & \text{Sumreglen} \\[1.5em] &\int _a ^b (f(x) - g(x)) dx = \int _a ^b f(x) dx - \int _a ^b g(x) dx & & \text{Differensreglen} \\[1.5em] &\int _a ^b k \cdot f(x) dx = k \cdot \int _a ^b f(x) dx, \ k \in \mathbb{R} & & \text{Konstantreglen} \\[1.5em] &\int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x) dx = F(g(b)) - F(g(a)) & & \text{Integration ved substitution} \end{align}

Herunder gennemgår vi regnereglerne og viser nogle eksempler, hvor vi bruger regnereglerne.

Integralet fra a til a

Sætning. Integralet fra a til a.

Hvis funktionen f er kontinuert i intervallet [a;b], så er

\int_a^{a} f(x) dx = 0

Vi beviser sætningen på siden Beviser for regneregler for bestemte integraler.

Eksempel

\int_2^2 x^2 dx = 0

Omvendte grænser

Sætning. Omvendte grænser.

Hvis funktionen f er kontinuert i intervallet [a;b], så er

\int_{b}^{a} f(x) dx = - \int_{a}^{b} f(x) dx

Vi beviser sætningen om omvendte grænser på siden Beviser for regneregler for bestemte integraler.

Eksempel

Et bestemt integral er givet ved

\int_1^5 x^2 dx = \frac{124}{3}

Vi vil bestemme nedenstående integral:

\int_5^1 x^2 dx

Vi bestemmer integralet ved at bytte rundt på grænserne:

\int_5^1 x^2 dx = - \int_1^5 x^2 dx     = - \frac{124}{3}

Vi kunne også have beregnet integralet direkte uden at bytt...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind