Regneregler for ubestemte integraler

Indhold

Oversigt
Sumreglen
- Eksempel
Differensreglen
- Eksempel
Konstantreglen
- Eksempel
Integration ved substitution
Eksempel, hvor flere regneregler benyttes

Oversigt

Når vi bestemmer ubestemte integraler, så kan vi benytte os af følgende regneregler:

$\begin{align*} &\int \left ( f(x) + g(x) \right )dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx & &\text{Sumreglen}\\[1.5em] &\int \left ( f(x) - g(x) \right )dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx & \qquad &\text{Differensreglen} \\[1.5em] &\int \left ( k \cdot f(x) \right )dx = k \cdot \int f(x)dx, \quad k \in \mathbb{R} & &\text{Konstantreglen} \\[1.5em] &\int f(g(x)) \cdot g'(x) dx = F(g(x)) + k, \quad k \in \mathbb{R} & &\text{Integration ved substitution} \end{align}$

Når vi benytter sum- eller differensreglen, så opsplitter vi ét integral i to integraler. Når vi efterfølgende bestemmer de to integraler, så tilføjer vi kun én integrationskonstant. Det skyldes, at summen/differensen af de to integrationskonstanter også er en konstant.

Sumreglen

Sætning. Sumreglen for ubestemte integraler.

Hvis funktionerne f og g er kontinuerte, så er

$\int \left ( f(x) + g(x) \right )dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$

Sumreglen fortæller, at vi kan integrere en sum ved at integrere hvert led for sig. Vi beviser sumreglen på siden Beviser for regneregler for ubestemte integraler.

Eksempel

Vi bestemmer nedenstående integral med sumreglen:

Differensreglen

Sætning. Differensreglen for ubestemte integraler.

Hvis funktionerne f

...