Bevis for sætning om kurvelængde
Kurvelængde
Sætning. Kurvelængde.
Hvis funktionen f er differentiabel i intervallet ]a;b[, og den afledte funktion f ' er kontinuert i intervallet [a;b], så er længden af grafen for f fra punktet (a,f(a)) til punktet (b,f(b)) givet ved
Vi har lavet en række eksempler, hvor vi bruger ovenstående sætning til at bestemme kurvelængder. Du finder eksemplerne på siden Kurvelængde.
Lærebøgerne i matematik indeholder flere forskellige beviser for sætningen om kurvelængder. Hvilket bevis du har fået gennemgået, afhænger derfor af hvilken lærebog du har. Vores bevis tager udgangspunkt i, at vi laver en tilnærmet graf, der består af linjestykker. Herunder gennemgår vi først idéen i beviset for sætningen og derefter selve beviset.
Idéen i beviset
Idéen i beviset er, at vi laver en approksimation til grafen for en funktion med rette linjestykker.
På figuren herover har vi tilføjet et punkt på grafen for f og forbundet punktet med grafens endepunkter m...
