Integralregning

[42]

Volumen og kurvelængde

Indhold

Volumen af omdrejningslegeme om x-aksen
Volumen af omdrejningslegeme om y-aksen
Kurvelængde

Volumen af omdrejningslegeme om x-aksen

Når området under grafen for en kontinuert funktion drejes 360° om førsteaksen, så fremkommer der en rumlig figur, der kaldes et omdrejningslegeme.
Hvis funktionen f er kontinuert i intervallet [a;b], og V er volumen af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når området mellem førsteaksen og grafen for f i intervallet [a;b] drejes 360° om førsteaksen, så er

$V = \pi \int_a^b (f(x))^2 dx$

Eksempel: Når området mellem førsteaksen og grafen for funktionen f(x) = x3 i intervallet [0;2] drejes 360° om førsteaksen, så fremkommer der et omdrejningslegeme. Omdrejningslegemets volumen er 57,45:

$\begin{align*} V &= \pi \int_{0}^{2} (3x^2)^2 dx \\[0.5em] & \approx 57,45 \end{align}$

Hvis funktionerne f og g er kontinuerte i intervallet [a;b] og 0 ≤ g(x) ≤ f(x) for alle x ∈ [a;b], så fremkommer der et hult omdrejningslegeme, når området mellem graferne for f og g i intervallet [a;b] drejes 360° om førsteaksen. Omdrejningslegemets volumen er givet ved

$V = \pi \int_a^b (f(x)^2 - g(x)^2) dx$

Du kan få hjælp til at løse opgaver om volumen af et omdrejningslegeme om x-aksen i vejledningerne Bestem rumfang af omdrejningslegeme om x-aksen og Bestem øvre græn

...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind