Bestemte integraler og arealer

Det bestemte integral

  • Hvis f er en funktion, der er kontinuert på intervallet [a;b], så er det bestemte integral fra a til b givet ved

\int _a^b f(x) dx = \left [ F(x) \right ]_a^b = F(b) - F(a) 

F er en vilkårlig stamfunktion til f.

  • Eksempel: F(x) = x2 er en stamfunktion til f(x) = 2x, så

\begin{align*} \int_2^4 2xdx &= [x^2]_2^4 \\[0.5em] &= 4^2 - 2^2 \\[0.5em] &= 16 - 4 \\[0.5em] &= 12 \end{align}

Regneregler for det bestemte integral

\int_{b}^{a} f(x) dx = - \int_{a}^{b} f(x) dx

Omvendte grænser

 

\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx

Indskudssætningen

 

\int _a ^b (f(x) + g(x)) dx = \int _a ^b f(x) dx + \int _a ^b g(x) dx

Sumregel

 

\int _a ^b (f(x) - g(x)) dx = \int _a ^b f(x) dx - \int _a ^b g(x) dx

Differensregel

 

\int _a ^b k \cdot f(x) dx = k \cdot \int _a ^b f(x) dx, \ k \in \mathbb{R}

Konstantregel

 

\begin{align*} \int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x) dx &= \int_{g(a)}^{g(b)} f(t) dt, \text{ hvor } t = g(x) \\[1em] &= \left [ F(t) \right ]_{g(a)}^{g(b)} \\[1em] &= F(g(b)) - F(g(a)) \end{align}

F er en stamfunktion til f.

Integration ved substitution

 

 

Eksempel: Omvendte grænser
 

Kun brugere med et Studienet medlemskab kan se dette indhold. Køb adgang.

Eksempel: Indskudssætningen
 

Kun brugere med et Studienet medlemskab kan se dette indhold. Køb adgang.

Eksempel: Sumregel
 

Kun brugere med et Studienet medlemskab kan se dette indhold. Køb adgang.

Eksempel: Differensregel
 

Kun brugere med et Studienet medlemskab kan se dette indhold. Køb adgang.

Eksempel: Konstantregel
 

Kun brugere med et Studienet medlemskab kan se dette indhold. Køb adgang.

Eksempel: Integration ved substitution
 

Kun brugere med et Studienet medlemskab kan se dette indhold. Køb adgang.

Areal under graf (areal mellem graf og førsteaksen)

  • Hvis f er en kontinuert, ikke-negativ funktion, og a er et tal i Dm(f), så kalder vi A(x) for en arealfunktion til f med udgangspunkt i a, hvis A(x) beskr
...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind