[42]

Beviser for regneregler for ubestemte integraler

Indhold

Sumreglen
Differensreglen
Konstantreglen
Integration ved substitution

Når vi bestemmer ubestemte integraler, så kan vi benytte en række regneregler.

Her gennemgår vi beviserne for fire regneregler. Fremgangsmåden i de fire beviser er den samme: Vi beviser, at de to udtryk på hhv. venstre og højre side af lighedstegnet er stamfunktioner til samme funktion.

Sumreglen

Sætning. Sumreglen.

Hvis funktionerne f og g er kontinuerte, så er

$\int \left ( f(x) + g(x) \right )dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$

Herunder gennemgår vi et bevis for sumreglen. Fremgangsmåden kan også bruges til at bevise differensreglen.

Du kan se et eksempel på, hvordan sumreglen kan bruges, på siden Regneregler for ubestemte integraler.

Bevis

Vi lader f og g være to kontinuerte funktioner.

Da f og g er kontinuerte, så har både f og g en stamfunktion. Dvs. at

$\begin{align*} \left ( \int f(x)dx \right )' &= f(x) \\[1em] \left ( \int g(x)dx \right )' &= g(x) \\[1em] \end{align}$

Da f og g er kontinuerte funktioner, så er f + g også kontinuert. Dermed har f + g også en s...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind