Differentialregning

[11]

Regler for differentiation

Indhold

Differentialkvotienten for udvalgte funktioner
Regneregler for differentiation

Differentialkvotienten for udvalgte funktioner

Skemaet herunder indeholder de differentialkvotienter, som du typisk skal kende, hvis du har matematik på A-niveau. Hvis du har matematik på B-niveau, behøver du muligvis ikke at kende dem alle. Spørg din lærer, hvis du er i tvivl om, hvilke differentialkvotienter du skal kende til.

Nr.f(x)f '(x)1

2

ax + b

3

e^x

e^x

4

a^x

$a^x \cdot \ln(a)$ 5 $x^{a}$ $ax^{a-1}$ 6 $\sqrt{x}$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ 7 $\frac{1}{x}$ $-\frac{1}{x^2}$ 8 $\ln(x)$ $\frac{1}{x}$ 9 $\cos(x)$ $-\sin(x)$ 10 $\sin(x)$ $\cos(x)$

Regneregler for differentiation

Oversigt

\left ( f(x) + g(x) \right )' = f'(x) + g'(x)

\left ( f(x) - g(x) \right )' = f'(x) - g'(x)

Reglen om sammensatte funktioner med lineær indre funktion er et specialtilfælde af kædereglen.

Sumreglen

Sætning. Sumreglen.

Hvis funktionerne f og g er differentiable, så er funktionen

f + g

differentiabel og

(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)

Eksempel

Funktionen h er givet ved

h(x) = x^2 + 8.

Vi differentierer h med sumreglen:

$\begin{align*} h'(x) &= \left ( x^2 + 8 \right )' \\ \\ &= \left ( x^2 \right )' + \left ( 8 \right )' \\ \\ &= 2x + 0 \\ \\ &= 2x \end{align*}$

Differensreglen

Sætning. Differensreglen.

Hvis funktionerne f og g er differentiable, så er funktionen

f - g

differentiabel og

( f-g)'(x) = f'(x) - g'(x)

Eksempel

Betragt funktionen

h(x) = e^x - x.

Funktionen h differentieres ved at bruge differensreglen:

$\begin{align*} h'(x) &= (e^x - x)' \\ \\ &= (e^x)' - (x)' \\ \\ &= e^x - 1 \end{align*}$

Produktreglen

Sætning. Produktreglen.

Hvis funktionerne f og g er differentiable, så er f

...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind