[5]

Bevis for kædereglen

Her beviser vi kædereglen. Du skal bruge kædereglen, når du skal differentiere en sammensat funktion, fx funktionen f(g(x)), hvor f og g er to differentiable funktioner.

Sætning. Kædereglen.

Hvis funktionen g er differentiabel i x0, og funktionen f er differentiabel i g(x0), så er funktionen

$\left ( f \circ g \right )\left ( x \right ) = f \left ( g \left ( x \right ) \right )$

differentiabel i x0 og

$\left ( f \circ g \right )'\left ( x_{0} \right ) = f' \left ( g \left ( x_0 \right ) \right ) \cdot g' \left ( x_0 \right )$

Du kan se et eksempel, hvor vi bruger kædereglen, på siden Regler for differentiation.

Bevis

Vi antager, at g er differentiabel i x0, og at f er differentiabel i g(x0). Vi beviser, at f ∘ g er differentiabel i x0 ved at benytte tretrinsreglen.

1. Først bestemmer vi differenskvotienten i x = x0:

$\frac{\left ( f \circ g \right )(x_0 + \Delta x) - \left ( f \circ g \right )(x_0)}{\Delta x} = \frac{f(g(x_0+ \Delta x))-f(g(x_0))}{\Delta x}$

2. Derefter omskriver vi differenskvotienten:

Vi kender ikke grænseværdien for differenskvotienten, som vi skrev op i 1. trin. Derfor omskriver vi den til et udtryk, hvis grænseværdi vi kender.

Få for...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind