Bevis for kædereglen

Her beviser vi kædereglen. Du skal bruge kædereglen, når du skal differentiere en sammensat funktion, fx funktionen f(g(x)), hvor f og g er to differentiable funktioner.

Sætning. Kædereglen.

Hvis funktionen g er differentiabel i x0, og funktionen f er differentiabel i g(x0), så er funktionen

\left ( f \circ g \right )\left ( x \right ) = f \left ( g \left ( x \right ) \right )

differentiabel i x0 og

\left ( f \circ g \right )'\left ( x_{0} \right ) = f' \left ( g \left ( x_0 \right ) \right ) \cdot g' \left ( x_0 \right )

Bevis

Vi antager, at g er differentiabel i x0, og at f er differentiabel i g(x0). Vi beviser, at fg er differentiabel i x0 ved at benytte tretrinsreglen.

1. Først bestemmer vi differenskvotienten i = x0:

\frac{\left ( f \circ g \right )(x_0 + \Delta x) - \left ( f \circ g \right )(x_0)}{\Delta x} = \frac{f(g(x_0+ \Delta x))-f(g(x_0))}{\Delta x}

 

2. Derefter omskriver vi differenskvotienten:

Vi kender ikke grænseværdien for differenskvotienten, som vi skrev op i 1. trin. Derfor omskriver vi den til et udtryk, hvis grænseværdi vi kender.

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene.

\frac{f(g(x_0+ \Delta x))-f(g(x_0))}{\Delta x}=\frac{\left ( f(g(x_0+ \Delta x))-f(g(x_0)) \right ) \cdot \color{Blue} \left ( g(x_0+ \Delta x) - g(x_0) \right )}{\Delta x \cdot \color{Blue} \left ( g(x_0+ \Delta x) - g(x_0) \right )}    =\frac{f(g(x_0+ \Delta x))-f(g(x_0))}{g(x_0+ \Delta x) - g(x_0)} \cdot \frac{g(x_0+ \Delta x) - g(x_0)}{\Delta x}   

Vi de...

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind