Bevis for kædereglen

Her beviser vi kædereglen. Du skal bruge kædereglen, når du skal differentiere en sammensat funktion, fx funktionen f(g(x)), hvor f og g er to differentiable funktioner.

Sætning. Kædereglen.

Hvis funktionen g er differentiabel i x0, og funktionen f er differentiabel i g(x0), så er funktionen

$\left ( f \circ g \right )\left ( x \right ) = f \left ( g \left ( x \right ) \right )$

differentiabel i x0 og

$\left ( f \circ g \right )'\left ( x_{0} \right ) = f' \left ( g \left ( x_0 \right ) \right ) \cdot g' \left ( x_0 \right )$

Bevis

Vi antager, at g er differentiabel i x0, og at f er differentiabel i g(x0). Vi beviser, at f ∘ g er differentiabel i x0 ved at benytte tretrinsreglen.

1. Først bestemmer vi differenskvotienten i x = x0:

$\frac{\left ( f \circ g \right )(x_0 + \Delta x) - \left ( f \circ g \right )(x_0)}{\Delta x} = \frac{f(g(x_0+ \Delta x))-f(g(x_0))}{\Delta x}$

2. Derefter omskriver vi differenskvotienten:

Vi kender ikke grænseværdien for differenskvotienten, som vi skrev op i 1. trin. Derfor omskriver vi den til et udtryk, hvis grænseværdi vi kender.

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene.

$\frac{f(g(x_0+ \Delta x))-f(g(x_0))}{\Delta x}$ = $\frac{\left ( f(g(x_0+ \Delta x))-f(g(x_0)) \right ) \cdot \color{Blue} \left ( g(x_0+ \Delta x) - g(x_0) \right )}{\Delta x \cdot \color{Blue} \left ( g(x_0+ \Delta x) - g(x_0) \right )}$ = $\frac{f(g(x_0+ \Delta x))-f(g(x_0))}{g(x_0+ \Delta x) - g(x_0)} \cdot \frac{g(x_0+ \Delta x) - g(x_0)}{\Delta x}$

Vi de...