Differentiable funktioner

På denne side gennemgår vi, hvad det vil sige, at en funktion er differentiabel. Vi giver også eksempler på ikke-differentiable funktioner og introducerer den afledte funktion.…

...

Indhold

Differentiabilitet fra højre og fra venstre
Definition: Differentiable funktioner
- Differentiable funktioner defineret på lukkede eller halvåbne intervaller
Differentiable funktioner er kontinuerte
Ikke-differentiable funktioner
Grafens hældning i et punkt er differentialkvotienten i punktet
Den afledte funktion f '

Differentiabilitet fra højre og fra venstre

En funktion f er differentiabel i x0, hvis grænseværdien

$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

eksisterer. Husk på, at grænseværdien kun eksisterer, når grænseværdien fra højre og grænseværdien fra venstre eksisterer, og de to grænseværdier er ens. Differentialkvotienten eksisterer altså kun, når

$\lim_{\Delta x \rightarrow 0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0^-}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

Hvis grænseværdien fra højre eksisterer, så siger vi, at f er differentiabel fra højre i x0. Tilsvarende kan f være differentiabel fra venstre i x0.

Definition. Differentiabilitet fra højre og fra venstre i et punkt.

En funktion f er differentiabel fra højre i x0, hvis x0 ligger i Dm(f) og differenskvotienten

$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

har en grænseværdi, når Δx → 0+.

En funktion f er differentiabel fra venstre i x0, hvis x0 ligger i Dm(f) og differenskvotienten

$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

har en grænseværdi, når Δx → 0-.

Eksempel: Differentiabilitet fra højre

Kun brugere med et Studienet medlemskab kan læse denne tekst.

…

...

Den afledte funktion f '

Når en funktion f er differentiabel, så eksisterer der en differentialkvotient f '(x) til ethvert x i Dm(f), ligesom der til ethvert x findes en funktionsværdi f(x). Vi kan derfor betragte f ' som en funktion, hvor der til ethvert x hører en funktionsværdi f '(x). Vi kalder f ' for den afledte funktion eller den afledede funktion, mens det at bestemme f ' kaldes differentiering.

Væ…