Differentiable funktioner

På denne side gennemgår vi, hvad det vil sige, at en funktion er differentiabel. Vi giver også eksempler på ikke-differentiable funktioner og introducerer den afledte funktion.…

...

Differentiabilitet fra højre og fra venstre

En funktion f er differentiabel i x0, hvis grænseværdien

\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

eksisterer. Husk på, at grænseværdien kun eksisterer, når grænseværdien fra højre og grænseværdien fra venstre eksisterer, og de to grænseværdier er ens. Differentialkvotienten eksisterer altså kun, når

\lim_{\Delta x \rightarrow 0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0^-}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

Hvis grænseværdien fra højre eksisterer, så siger vi, at f er differentiabel fra højre i x0. Tilsvarende kan f være differentiabel fra venstre i x0.

Definition. Differentiabilitet fra højre og fra venstre i et punkt.

En funktion f er differentiabel fra højre i x0, hvis x0 ligger i Dm(f) og differenskvotienten

\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

har en grænseværdi, når Δx → 0+.

En funktion f er differentiabel fra venstre i x0, hvis x0 ligger i Dm(f) og differenskvotienten

\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

har en grænseværdi, når Δx → 0-.

Eksempel: Differentiabilitet fra højre
 

Kun brugere med et Studienet medlemskab kan læse denne tekst.

...

Den afledte funktion f '

Når en funktion f er differentiabel, så eksisterer der en differentialkvotient f '(x) til ethvert x i Dm(f), ligesom der til ethvert x findes en funktionsværdi f(x). Vi kan derfor betragte f ' som en funktion, hvor der til ethvert x hører en funktionsværdi f '(x). Vi kalder f ' for den afledte funktion eller den afledede funktion, mens det at bestemme f ' kaldes differentiering.

Væ…

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind