Noter

Noterne til differentialregning er en kort opsummering af de vigtigste begreber og metoder inden for differentialregning. Du kan læse mere om begreberne og metoderne på de andre sider i kompendiet, hvor vi bl.a. giver en mere detaljeret forklaring og gennemgår en lang række eksempler.

Differenskvotienten

  • Differenskvotienten for f er hældningen på sekanten (den gule linje gennem P og Q):

\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

  • Δf = f(x0 + Δx) - f(x0) kaldes funktionstilvæksten. Selv om Δf kaldes funktionstilvæksten, så kan Δf godt være negativ.

  • Differenskvotienten kan fortolkes som den gennemsnitlige væksthastighed: Differenskvotienten for en funktion f i x = x0 beskriver funktionens gennemsnitlige væksthastighed i intervallet [x0, x0 + Δx].

Du kan læse mere om differenskvotienten på siden Differenskvotient.

Differentialkvotienten

  • Differentialkvotienten i x0 skrives f '(x0).
  • Differentialkvotienten er grænseværdien for differenskvotienten, når Δx går mod 0 (dvs. når Q nærmer sig P):

\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \rightarrow f'(x_0) \text{ for } \Delta x \rightarrow 0.

  • Differentialkvotienten er tangentens hældning.
  • Hvis differentialkvotienten i x0 findes, dvs. hvis differenskvotienten har en grænseværdi, så siger vi, at f er differentiabel i x0.
  • Differentialkvotienten kan fortolkes som den øjeblikkelige væksthastighed.

Læs evt. mere på siden Differentialkvotient.

Tretrinsreglen

  • Tretrinsreglen bruges til at bestemme differentialkvotienten for en bestemt funktion.
  • Tretrinsreglens tre trin er:

1) Bestem differenskvotienten.

2) Omskriv differenskvotienten.

3) Bestem grænseværdien for udtrykket i 2), når Δx går mod 0.

  • Eksempel: Vi bestemmer differenskvotienten for f(x) = x2 i x = 1:

1) Vi bestemmer differenskvotienten:

\frac{f(1+\Delta x)- f(1)}{\Delta x} = \frac{(1+\Delta x)^2 - 1^2}{\Delta x}

2) Vi omskriver differenskvotienten:

\begin{align*} \frac{(1+\Delta x)^2 - 1^2}{\Delta x} &= \frac{1^2 + (\Delta x)^2 + 2 \cdot 1 \cdot \Delta x - 1^2}{\Delta x} \\[0.5em] &= \frac{(\Delta x)^2 + 2\Delta x}{\Delta x} \\[0.5em] &= \Delta x + 2 \end{align}

3) Vi best...

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind