Bevis for sumreglen, differensreglen og konstantreglen

Indhold

Sumreglen
- Bevis
Differensreglen
- Bevis
Konstantreglen
- Bevis ved brug af tretrinsreglen
- Bevis ved brug af produktreglen

Sumreglen

Sætning. Sumreglen.

Hvis funktionerne f og g er differentiable i x0, så er funktionen

f + g

differentiabel i x0 og

(f + g)'(x0) = f '(x0) + g'(x0)

Du kan se et eksempel, hvor vi bruger sumreglen, på siden Regneregler.

Bevis

Vi antager, at funktionerne f og g er differentiable i x0. Vi beviser, at f + g er differentiabel i x0 ved at benytte tretrinsreglen.

1. Først bestemmer vi differenskvotienten i x = x0.

$\frac{(f+g)(x_0+\Delta x)-(f+g)(x_0)}{\Delta x} = \frac{f(x_0+\Delta x)+g(x_0+\Delta x)-\left ( f(x_0) +g(x_0) \right )}{\Delta x}$

2. Derefter omskriver vi differenskvotienten.

Da vi ikke kender grænseværdien for differenskvotienten, som vi bestemte i 1. trin, så omskriver vi differenskvotienten til et udtryk, hvis grænseværdi vi kender.

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene.

\frac{f(x_0+\Delta x)+g(x_0+\Delta x) -\left ( f(x_0) + g(x_0) \right )}{\Delta x}

\frac{f(x_0+\Delta x)+g(x_0+\Delta x) - f(x_0) - g(x_0)}{\Delta x}

Vi har nu omskrevet differenskvotienten til udtrykket herover, som vi kan kalde (I). I det næste trin bestemmer vi grænsevær

...

	$\frac{f(x_0+\Delta x)+g(x_0+\Delta x) -\left ( f(x_0) + g(x_0) \right )}{\Delta x}$

=	$\frac{f(x_0+\Delta x)+g(x_0+\Delta x) - f(x_0) - g(x_0)}{\Delta x}$

=	$\frac{f(x_0+\Delta x)- f(x_0)+g(x_0+\Delta x) - g(x_0)}{\Delta x}$

=	$\frac{f(x_0+\Delta x)- f(x_0)}{\Delta x}+\frac{g(x_0+\Delta x) - g(x_0)}{\Delta x} \ \ \text{(I)}$