Bevis for sumreglen

Her finder du et bevis for sumreglen. Reglen beskriver hvordan vi kan differentiere summen af to funktioner, f + g, hvis de to funktioner f og g er differentiable.

Sætning. Sumreglen.

Hvis funktionerne f og g er differentiable i x0, så er funktionen

+ g

differentiabel i x0 og

\left (f+g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)

Du kan se et eksempel, hvor vi bruger sumreglen, på siden Regler for differentiation.

Bevis

Vi antager, at funktionerne f og g er differentiable i x0. Vi beviser, at g er differentiabel i x0 ved at benytte tretrinsreglen.

1. Først bestemmer vi differenskvotienten i = x0.

\frac{(f+g)(x_0+\Delta x)-(f+g)(x_0)}{\Delta x} = \frac{f(x_0+\Delta x)+g(x_0+\Delta x)-\left ( f(x_0) +g(x_0) \right )}{\Delta x}


2. Derefter omskriver vi differenskvotienten.

Da vi ikke kender grænseværdien for differenskvotienten, som vi bestemte i 1. trin, så omskriver vi differenskvotienten til et udtryk, hvis grænseværdi vi...

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind