Beviser for udvalgte differentialkvotienter

På denne side beviser vi differentialkvotienten for nogle udvalgte funktioner. Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene.

Indhold

x²
ax + b (lineær funktion)
ax² + bx + c (andengradspolynomium)
k (konstant funktion)
√x
1/x
xⁿ (potensfunktion)
eˣ (eksponentialfunktion)
eᵏˣ (eksponentialfunktion)
aˣ (eksponentialfunktion)
xᵃ (potensfunktion)

x²

Sætning. (x2)' = 2x.

Funktionen

f(x) = x2, x ∈ $\mathbb{R}$

er differentiabel i ethvert x0, og

f '(x0) = 2x0

Bevis

Lad x0 ∈ $\mathbb{R}$ være givet. Vi beviser, at f(x) = x2 er differentiabel i x0 ved at benytte tretrinsreglen.

1. Først bestemmer vi differenskvotienten i x = x0.

\frac{(x_0+\Delta x)^2-(x_0)^2}{\Delta x}

2. Derefter omskriver vi differenskvotienten.

Differenskvotienten, som vi fandt i 1. trin, er en brøk med Δx i nævneren. Nævneren går derfor mod 0, når Δx går mod 0. Vi kan ikke bestemme grænseværdien for en brøk, hvor nævneren går mod 0, så derfor omskriver vi differenskvotienten til et udtryk, der ikke er en brøk.

\frac{\color{Blue}(x_0+\Delta x)^2\color{Black}-(x_0)^2}{\Delta x}

\frac{\color{Blue}(x_0)^2 + (\Delta x)^2 + 2\cdot x_0 \cdot \Delta x \color{Black} -(x_0)^2}{\Delta x}

Vi har nu omskrevet differenskvotienten til udtrykket Δx + 2x0.

Da Δx + 2x0 er en omskrivning af differenskvotienten, kan vi bestemme differenskvotientens grænseværdi ved at bestemme grænseværdien for Δx + 2x0. Vi bes

...

$\frac{\color{Blue}(x_0+\Delta x)^2\color{Black}-(x_0)^2}{\Delta x}$	=	$\frac{\color{Blue}(x_0)^2 + (\Delta x)^2 + 2\cdot x_0 \cdot \Delta x \color{Black} -(x_0)^2}{\Delta x}$

	=	$\frac{(\Delta x)^2 + 2\cdot x_0 \cdot \Delta x }{\Delta x}$

	=	$\frac{\left ( \Delta x + 2x_0 \right ) \cdot \Delta x }{\Delta x}$

	=	$\Delta x + 2x_0$