Beviser for udvalgte differentialkvotienter

På denne side beviser vi differentialkvotienten for nogle udvalgte funktioner. Hvert bevis indeholder en beskrivelse af fremgangsmåden samt detaljerede forklaringer til alle udregningerne.

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​x²

Sætning. \mathbf{\left (x^2 \right )' = 2x}.

Funktionen

f(x) = x^2, \ x \in \mathbb{R}

er differentiabel i ethvert x0, og 

f'(x_0) = 2x_0

Bevis

Lad x0 være givet. Vi beviser, at f(x) = x2 er differentiabel i x0 ved at benytte tretrinsreglen.

Få forklaringer til alle udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene.

1. Først bestemmer vi differenskvotienten i = x0.

\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{(x_0+\Delta x)^2-(x_0)^2}{\Delta x}

2. Derefter omskriver vi differenskvotienten.

Differenskvotienten, som vi fandt i 1. trin, er en brøk med Δx i nævneren. Nævneren går derfor mod 0, når Δx går mod 0. Vi kan ikke bestemme grænseværdien for en brøk, hvor nævneren går mod 0, så derfor omskriver vi differenskvotienten til et udtryk

...

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind