Bevis for monotonisætningen

Monotonisætningen.

Hvis f er en differentiabel funktion defineret på et interval [a,b], så gælder der, at

  • hvis '(x) > 0 for ethvert x i ]a,b[, så er f voksende på intervallet [a,b].
  • hvis f '(x) < 0 for ethvert x i ]a,b[, så er f aftagende på intervallet [a,b].
  • hvis f '(x) = 0 for ethvert x i ]a,b[, så er f konstant på intervallet [a,b].

Du kan læse mere om monotonisætningen og se et eksempel, hvor sætningen er brugt, på siden Monotoniforhold.

Bevis

Vi beviser hvert af punkterne i sætningen for sig. Vi benytter den samme fremgangsmåde i alle tre dele, og de tre dele af beviset minder derfor meget om hinanden.

Del 1: f '(x) > 0

Vi lader f være en differentiabel funktion, der er defineret på et interval [a,b], og som opfylder, at f '(x) > 0 for ethvert x i ]a;b[.

Vi skal vise, at f er voksende. Vi kan vise, at f er voksende ved at vise, at for x1, x2 ∈ [a;b], så gælder der, at

x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

Vi vælger derfor to vilk...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind