Bevis for monotonisætningen
Du kan læse mere om monotonisætningen og se et eksempel, hvor sætningen er brugt, på siden Monotoniforhold.
Bevis
Vi beviser hvert af punkterne i sætningen for sig. Vi benytter den samme fremgangsmåde i alle tre dele, og de tre dele af beviset minder derfor meget om hinanden.
Del 1: f '(x) > 0
Vi lader f være en differentiabel funktion, der er defineret på et interval [a,b], og som opfylder, at f '(x) > 0 for ethvert x i ]a;b[.
Vi skal vise, at f er voksende. Vi kan vise, at f er voksende ved at vise, at for x1, x2 ∈ [a;b], så gælder der, at
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
Vi vælger derfor to vilk...