Uden hjælpemidler

Her finder du facit og vores løsninger til opgaverne i prøven uden hjælpemidler fra Matematik FP9 7. maj 2019.

Du kan få hjælp til at løse en lang række af opgaverne i vores vejledning til FP9 færdighedsregning.

Indhold

Opgave 1
Opgave 2
Opgave 3
Opgave 4
Opgave 5
Opgave 6
Opgave 7
Opgave 8
Opgave 9
Opgave 10
Opgave 11
Opgave 12
Opgave 13
Opgave 14
Opgave 15
Opgave 16
Opgave 17
Opgave 18
Opgave 19
Opgave 20

Opgave 1

1.1

Hvad koster fire 1-dagsbilletter?

Facit

960 kr.

Hint

Gang prisen for en 1-dagsbillet med 4.

Løsning

Vi aflæser i tabellen, at én 1-dagsbillet koster 240 kr. Vi bestemmer prisen for 4 1-dagsbilletter:

$\begin{align*} && 4 \cdot \overset{1}{2}40 \\ \hline && 960 \end{align}$

4 1-dagsbilletter koster 960 kr.

1.2

Hvor mange penge kan Alma spare, hvis hun køber en 2-dagesbillet i stedet for to 1-dagsbilletter?

Facit

90 kr.

Hint

Beregn først prisen for to 1-dagsbilletter.

Løsning

Vi beregner prisen for to 1-dagsbilletter:

$\begin{align*} && 2 \cdot 240 \\ \hline && 480 \end{align}$

To 1-dagsbilletter koster 480 kr.

Vi beregner forskellen mellem prisen for to 1-dagsbilletter og én 2-dagesbillet:

$\begin{align*} &&\cancel{4}\overset{1}{8}0 \\ && - \ 390 \\ \hline && = 90 \end{align}$

Alma kan spare 90 kr., hvis hun køber en 2-dagesbillet frem for to 1-dagsbilletter.

1.3

Mindst hvor mange dage skal Alma tage til sommerlandet, for at det kan betale sig at købe et sæsonkort i stedet for 1-dagsbilletter?

Facit

3 dage

Hint

Beregn prisen for tre 1-dagsbilletter.

Løsning

Vi beregnede i opg. 1.2, at to 1-dagsbilletter koster 480 kr. Prisen for et sæsonkort er 625 kr., så hvis Alma tager afsted to gange, så kan det ikke betale sig at købe et sæsonkort.

Vi beregner prisen for tre 1-dagsbilletter:

$\begin{align*} && 3 \cdot \overset{1}{2}40 \\ \hline && 720 \end{align}$

Prisen for tre 1-dagsbilletter er 720 kr., hvilket er mere end prisen for et sæsonkort. Hvis Alma tager til sommerlandet mindst 3 dage, så kan det betale sig at købe et sæsonkort frem for 1-dagsbilletter.

Opgave 2

2.1

Hvad er prisen pr. juice, hvis man køber 5 juice på tilbud?

Facit

12 kr.

Hint

Del prisen for 5 juice (60 kr.) med 5.

Løsning

Vi får oplyst, at 5 juice koster 60 kr. på tilbud.

Vi beregner prisen for én juice:

Prisen pr. juice er 12 kr.

2.2

Hvad koster en juice, når den ikke er på tilbud?

Facit

16 kr.

Hint

Beregn først normalprisen for 5 juice.

Løsning

Vi får oplyst, at tilbudsprisen for 5 juice er 20 kr. mindre end normalprisen.

Vi beregner normalprisen for 5 juice:

60 + 20 = 80

Normalprisen for 5 juice er 80 kr.

Vi beregner prisen for én juice:

Prisen pr. juice er 16 kr.

2.3

Hvor mange procent sparer man i forhold til normalprisen, hvis man køber 5 juice på tilbud?

Facit

25%

Hint

Normalprisen for 5 juice er 80 kr. Besparelsen er på 20 kr. Omskriv 20/80 til procent.

Løsning

I opg. 2.2 beregnede vi, at normalprisen for 5 juice er 80 kr. Vi får oplyst, at når man køber 5 juice på tilbud, så sparer man 20 kr. Vi beregner, hvor meget 20 kr. udgør af 80 kr.:

$\begin{align*} \frac{20}{80} &= \frac{2}{8} \\[1em] &= \frac{1}{4} \\[1em] &= 0,25 \\[1em] &= 25% \end{align}$

Man sparer 25% i forhold til normalprisen, når man køber 5 juice på tilbud.

Opgave 3

3.1

Hvor mange danske kroner svarer prisen cirka til?

Facit

600 kr.

Hint

At kursen på britiske pund er 850,87 betyder, at 100 britiske pund koster 850,87 kr.

Afrund tallene for at gøre beregningerne nemmere.

Løsning

Prisen for skoene er ca. 70 britiske pund.

Vi får oplyst, at kursen på britiske pund er 850,87, dvs. at 1 britisk pund koster ca. 8,5 kr. Vi afrunder kursen, så 1 britisk pund svarer til 9 kr. Da vi runder op, så får vi et resultat, der er lidt for stort i forhold til den faktiske pris.

Derefter bestemmer vi en overslagspris for skoene i kroner:

$\begin{align*} && 9 \cdot 70 \\ \hline && 630 \end{align}$

Prisen for skoene er lidt under 630 kr., dvs. at det svar, der er tættest på det rigtige beløb, er 600 kr.

Opgave 4

4.1

Hvad koster 1 pose slik?

Facit

12 kr.

Hint

Sammenlign de to køb for at bestemme, hvor meget mere en cola koster end en pose slik.

Løsning

Vi får oplyst, at

Køb 1:	2 poser slik og 1 cola koster 40 kr.
Køb 2:	1 pose slik og 2 colaer koster 44 kr.

Køb 2 svarer til køb 1, hvor den ene pose slik er byttet ud med en cola. Da køb 2 koster 4 kr. mere end køb 1, så koster en cola 4 kr. mere end en pose slik.

Hvis vi bytter colaen i køb 1 ud med en pose slik, så skal vi derfor trække 4 kr. fra prisen, dvs. at

3 poser slik koster 36 kr.

Vi bestemmer prisen for en pose slik:

En pose slik koster 12 kr.

Opgave 5

5.1

Regn 1072 + 4038.

Facit

5110

Løsning

$\begin{align*} && 1\overset{1}{0}\overset{1}{7}2 \\ + \ && 4038 \\ \hline = \ && 5110 \end{align}$

5.2

Regn 701 – 149.

Facit

552

Løsning

$\begin{align*} && \cancel{7}\cancel{\overset{1}{0}}\overset{1}{1} \\ - \ && 149 \\ \hline = \ && 552 \end{align}$

5.3

Regn 350 · 9.

Facit

3150

Hint

350 · 9 er det samme som 9 · 350.

Løsning

$\begin{align*} 9 \cdot \overset{4}{3}50 \\ \hline 3150 \end{align}$

5.4

Regn 7021 : 7.

Facit

1003

Løsning

Opgave 6

6.1

Indsæt et tal, så udtrykket bliver sandt:

40 + ___ = 50 + 15

Facit

Hint

Opgaven svarer til at løse ligningen 40 + x = 50 + 15.

Løsning

Opgaven svarer til at løse ligningen

40 + x = 50 + 15

Vi omskriver ligningen:

40 + x = 65

Vi trækker 40 fra på begge sider af lighedstegnet:

40 + x - 40 = 65 - 40

Vi får så:

x = 25

Udtrykket er sandt, når 25 indsættes.

6.2

Indsæt et tal, så udtrykket bliver sandt:

3,5 + ___ = 3,65

Facit

0,15

Hint

Opgaven svarer til at løse ligningen 3,5 + x = 3,65.

Løsning

Opgaven svarer til at løse ligningen

3,5 + x = 3,65

Vi trækker 3,5 fra på begge sider af lighedstegnet:

3,5 + x - 3,5 = 3,65 - 3,5

Vi får så:

x = 0,15

Udtrykket er sandt, når 0,15 indsættes.

6.3

Indsæt et tal, så udtrykket bliver sandt:

80 : ___ = 0,8

Facit

100

Hint

Vi deler med 10 ved at rykke kommaet én plads mod venstre.

Løsning

Vi skal bestemme, hvad vi skal dele 80 med for at få 0,8.

Hvis vi deler 80 med 10, så får vi 8, fordi vi deler med 10 ved at rykke kommaet én plads mod venstre.

Hvis vi deler 8 med 100, så får vi 0,8, fordi vi deler med 100 ved at rykke kommaet to pladser mod venstre.

Udtrykket er sandt, når 100 indsættes.

6.4

Indsæt et tal, så udtrykket bliver sandt:

$\frac{1}{3} + \underline{\qquad} = \frac{5}{6}$

Facit

$\frac{1}{2}$

(Enhver brøk, der kan forkortes til $\tfrac{1}{2}$ , er et korrekt facit. 0,5 er også et korrekt facit.)

Hint

Opgaven svarer til at løse ligningen

$\frac{1}{3} + x = \frac{5}{6}.$

Løsning

Opgaven svarer til at løse ligningen

$\frac{1}{3} + x = \frac{5}{6}$

Vi forlænger $\tfrac{1}{3}$ med 2, så vi får en brøk med nævneren 6:

$\frac{2}{6} + x = \frac{5}{6}$

Vi trækker $\tfrac{2}{6}$ fra på begge sider af lighedstegnet:

$\frac{2}{6} + x - \frac{2}{6} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6}$

Vi får så:

$x = \frac{3}{6}$

Vi forkorter brøken med 3 og får:

$x = \frac{1}{2}$

Udtrykket er sandt, når $\tfrac{1}{2}$ indsættes.

Opgave 7

7.1

Hvad er resultatet af 72,5 · 0,2?

Facit

14,5

Hint

At gange med 0,2 svarer til at dele med 5.

Løsning

At gange med 0,2 svarer til at dele med 5, så vi skal beregne:

72,5 : 5

Vi benytter overslagsregning og beregner i stedet 75 : 5:

Resultatet er 15, så det korrekte svar er 14,5.

7.2

Hvad er resultatet af 18 : 0,6?

Facit

Hint

Benyt overslagsregning, og beregn 18 : 0,5 i stedet for.

Løsning

Vi benytter overslagsregning. I stedet for at dele med 0,6, så deler vi med 0,5:

18 : 0,5

Da $0,5 = \tfrac{1}{2}$ , så skal vi beregne

$18 : \frac{1}{2}$

Vi deler med en brøk ved at "gange med den omvendte", så vi skal beregne

$18 \cdot \frac{2}{1}$

Da $\tfrac{2}{1} = 2$ , så får vi:

$18 \cdot 2 = 36$

Resultatet er ca. 36, så det korrekte svar er 30.

Opgave 8

8.1

Hvilket regneudtryk har den største værdi?

Facit

1 - (-2)³

Hint

Undersøg for hvert regneudtryk, om resultatet er positivt eller negativt.

Løsning

3² > 1, så 1 - 3² er et negativt tal.

3³ > 1, så 1 - 3³ er et negativt tal.

(-3)² > 1, fordi "minus gange minus giver plus", så 1 - (-3)² er et negativt tal.

2³ > 1, så 1 - 2³ er et negativt tal.

Vi ser på det sidste regneudtryk:

$\begin{align*} (-2)^3 &= (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \\[1em] &= 4 \cdot (-2) \\[1em] &= -8 \end{align}$

Dermed er

$\begin{align*} 1 - (-2)^3 &= 1 - (-8) \\[1em] &= 1 + 8 \\[1em] &= 9 \end{align}$

Da 1 - (-2)³ er det eneste regneudtryk, der er positivt, så er det 1 - (-2)³, der har den største værdi.

8.2

Hvilket tal har den største værdi?

Facit

0,9

Hint

Omskriv brøkerne til decimaltal, og sammenlign de fem decimaltal.

Løsning

Da $\tfrac{1}{10} = 0,1$ og $\tfrac{1}{100} = 0,01$ , så skal vi undersøge, hvilket af følgende tal, der er størst:

0,1

0,01

0,9

0,099

0,109

Det største tal er 0,9.

Opgave 9

9.1

Omskriv 40 % til en brøk.

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om procent.

Facit

$\frac{40}{100}$

(Enhver brøk, der kan forkortes eller forlænges til $\tfrac{40}{100}$ , er også et korrekt facit, fx $\tfrac{2}{5}$ .)

Hint

$a% = \frac{a}{100}$

9.2

12 % af 250 kr. er?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om procent.

Facit

30 kr.

Hint

12% er $\tfrac{12}{100}$ , så du kan bestemme 12% af 250 ved at gange 250 med $\tfrac{12}{100}$ .

Løsning

12% er $\tfrac{12}{100}$ , så vi bestemmer 12% af 250 ved at gange 250 med $\tfrac{12}{100}$ :

12% af 250 kr. er 30 kr.

9.3

20 % af et beløb er 125 kr. Hele beløbet er?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om procent.

Facit

625 kr.

Hint

20% svarer til $\tfrac{1}{5}$ .

Løsning

20% er $\tfrac{20}{100}$ . Vi forkorter brøken med 20 og får:

$\frac{20}{100} = \frac{1}{5}$

At 20% af et beløb er 125 kr. betyder derfor, at $\tfrac{1}{5}$ af beløbet er 125 kr.

Vi beregner derfor hele beløbet ved at gange med 5:

$\begin{align*} 5 \cdot \overset{1}{1}\overset{2}{2}5 \\ \hline 625 \end{align}$

Hele beløbet er 625 kr.

Opgave 10

10.1

Omkredsen af ottekanten er?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om omkreds og areal.

Facit

2a + 8b

Hint

Læg længderne af alle siderne sammen.

Løsning

Vi lægger længderne af alle siderne sammen:

a + b + b + b + b + b + a + 3b = 2a + 8b

Omkredsen af ottekanten er 2a + 8b.

10.2

Arealet af ottekanten er?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om omkreds og areal.

Facit

3ab - b²

Hint

Del figuren op i firkanter, og beregn arealet af hver firkant. Læg alle arealerne sammen.

Løsning

Vi deler figuren op i firkanter:

Vi har delt figuren op i tre firkanter: to kvadrater (I og III) med sidelængden b, og et rektangel (III) med længden 3b og bredden a - b.

Vi bestemmer arealet af firkant I og III:

$\begin{align*} A_{I} &= b \cdot b \\[1em] &= b^2 \\[2em] A_{III} &= 3b \cdot (a - b) \\[1em] &= 3b \cdot a - 3b \cdot b \\[1em] &= 3ab - 3b^2 \end{align}$

Kvadraterne I og II er lige store, så arealet af kvadrat II er også b².

Vi beregner det samlede areal:

$\begin{align*} A_{I} + A_{II} + A_{III} &= b^2 + b^2 + 3ab - 3b^2 \\[1em] &= 2b^2 + 3ab - 3b^2 \\[1em] &= 3ab - b^2\end{align}$

Arealet af ottekanten er 3ab - b².

Opgave 11

11.1

Løs ligningen 3x + 1 = 10.

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om ligninger.

Facit

x = 3

Hint

Træk 1 fra på begge sider af lighedstegnet.

Del derefter med 3 på begge sider af lighedstegnet.

Løsning

Vi opskriver ligningen:

3x + 1 = 10

Vi trækker 1 fra på begge sider af lighedstegnet:

$3x + 1 {\color{Red} \ - \ 1} = 10 {\color{Red} \ - \ 1}$

Vi får så:

3x = 9

Vi deler med 3 på begge sider af lighedstegnet:

$\frac{3x}{{\color{Red} 3}} = \frac{9}{{\color{Red} 3}}$

Vi får så:

x = 3

11.2

Løs ligningen 5x – 3 = 2x + 18.

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om ligninger.

Facit

x = 7

Hint

Isolér leddene med x ved at lægge 3 til på begge sider af lighedstegnet og derefter trække 2x fra på begge sider af lighedstegnet.

Løsning

Vi opskriver ligningen:

5x - 3 = 2x + 18

Vi lægger 3 til på begge sider af lighedstegnet:

$5x - 3 {\color{Red} \ +\ 3} = 2x + 18 {\color{Red} \ + \ 3}$

Vi får så:

5x = 2x + 21

Vi trækker 2x fra på begge sider af lighedstegnet:

$5x {\color{Red} \ - \ 2x} = 2x + 21 {\color{Red} \ - \ 2x}$

Vi får så:

3x = 21

Vi deler med 3 på begge sider af lighedstegnet:

$\frac{3x}{{\color{Red} 3}} = \frac{21}{{\color{Red} 3}}$

Vi får så:

x = 7

11.3

Løs ligningen $\frac{2(x+4)}{x} = 6.$

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om ligninger.

Facit

x = 2

Hint

Gang med x på begge sider af lighedstegnet.

Gang derefter 2 ind i parentesen, og træk 2x fra på begge sider af lighedstegnet for at isolere leddene med x.

Løsning

Vi opskriver ligningen:

$\frac{2(x+4)}{x} = 6$

Vi ganger med x på begge sider af lighedstegnet:

$\frac{2(x+4)}{x} {\color{Red} \ \cdot \ x} = 6{\color{Red} \ \cdot \ x}$

Vi får så:

2(x+4) = 6x

Vi ganger 2 ind i parentesen ved at gange hvert led i parentesen med 2:

${\color{Red} 2 \ \cdot \ } x+ {\color{Red} 2 \ \cdot \ } 4 = 6x$

Vi får så:

2x+ 8 = 6x

Vi trækker 2x fra på begge sider af lighedstegnet:

$2x + 8 {\color{Red} \ - \ 2x} = 6x {\color{Red} \ - \ 2x}$

Vi får så:

8 = 4x

Vi deler med 4 på begge sider af lighedstegnet:

$\frac{8}{{\color{Red} 4}} = \frac{4x}{{\color{Red} 4}}$

Vi får så:

2 = x

Opgave 12

12.1

Hvilket udtryk er en korrekt forskrift for f?

Facit

f(x) = 2000 · x

Hint

Overvejer, hvad prisen er, hvis der deltager hhv. 1, 2, 3 eller x elever.

Løsning

Hvis der deltager 1 elev, så er den samlede pris 1 · 2000.

Hvis der deltager 2 elever, så er den samlede pris 2 · 2000.

Hvis der deltager 3 elever, så er den samlede pris 3 · 2000.

Hvis der deltager x elever, så er den samlede pris x · 2000.

Forskriften for f(x) er derfor f(x) = x · 2000, hvilket også kan skrives som f(x) = 2000 · x.

Opgave 13

13.1

Omskriv 2525 m.

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om omregning af enheder.

Facit

2,525 km

Hint

1 km er 1000 m.

Løsning

Der går 1000 m på 1 km, så vi omskriver 2525 m til km ved at dele 2525 med 1000:

2525 : 1000 = 2,525

2525 m er 2,525 km.

13.2

Omskriv 7,5 dL.

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om omregning af enheder.

Facit

0,75 L

Hint

1 L er 10 dL.

Løsning

Der går 10 dL på 1 L, så vi omskriver 7,5 dL til L ved at dele 7,5 med 10:

7,5 : 10 = 0,75

7,5 dL er 0,75 L.

13.3

Omskriv 525 g.

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om omregning af enheder.

Facit

0,525 kg

Hint

1 kg er 1000 g.

Løsning

Der går 1000 g på 1 kg, så vi omskriver 525 g til kg ved at dele 525 med 1000:

525 : 1000 = 0,525

525 g er 0,525 kg.

13.4

Omskriv 1 m³.

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om omregning af enheder.

Facit

1000000 cm³

Hint

1 m³ er 1 m · 1 m · 1 m.

1 m er 100 cm.

Løsning

Der går 100 cm på 1 m, så

$\begin{align*} 1 \text{ m}^3 &= 1\text{ m} \cdot 1\text{ m} \cdot 1\text{ m} \\[1em] &= 100\text{ cm} \cdot 100\text{ cm} \cdot 100\text{ cm} \\[1em] &= 1000000\text{ cm}^3 \end{align}$

Opgave 14

14.1

Figurens rumfang er?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om rumfang og overfladeareal af prismer.

Facit

Hint

Figuren er et prisme med en trekantet grundflade (forestil dig, at figuren lægges ned, så de trekantede sider bliver toppen og bunden).

Rumfanget af et prisme bestemmes ved at gange arealet af grundfladen med højden.

Løsning

Figuren er et prisme med en trekantet grundflade (forestil dig, at figuren lægges ned). Vi bestemmer rumfanget af prismet ved at gange arealet af grundfladen med højden af prismet. Prismets højde er 2.

Vi kan se på skitsen, at prismets grundflade er en trekant med højde h = 3 og grundlinje g = 4. Vi bestemmer arealet, G, af den trekantede grundflade med formlen for arealet af en trekant:

$\begin{align*} G &= \frac{1}{2} \cdot h \cdot g \\[1em] &= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \\[1em] &= \frac{1}{2} \cdot 12 \\[1em] &= 6 \end{align}$

Grundfladen har et areal på 6.

Vi bestemmer prismets rumfang:

$\begin{align*} V &= G \cdot h \\[1em] &= 6 \cdot 2 \\[1em] &= 12 \end{align}$

14.2

Figurens overfladeareal er?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om rumfang og overfladeareal af prismer.

Facit

Hint

Figuren har fem sider. Bestem arealet af hver side, og læg arealerne sammen.

Løsning

Figuren har fem sider: tre rektangulære sider og to trekantede sider.

De rektangulære sider har alle bredden 2. Længderne er hhv. 3, 4 og 5. Vi bestemmer arealet af hver af siderne:

$\begin{align*} A_{\text{I}} &= 2 \cdot 3 \\[1em] &= 6 \\[2em] A_{\text{II}} &= 2 \cdot 4 \\[1em] &= 8 \\[2em] A_{\text{III}} &= 2 \cdot 5 \\[1em] &= 10 \end{align}$

De to trekantede sider er lige store. De har højden h = 3 og længden af grundlinjen er g = 4. I opg. 14.1 bestemte vi, at arealet af hver af de trekantede sider er 6.

Vi kan nu bestemme det samlede overfladeareal ved at lægge arealerne af alle fem sider sammen:

$\begin{align*} O &= 6 + 8 + 10 + 6 + 6 \\[1em] &= 36 \end{align}$

Opgave 15

15.1

Vinkel u er?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om vinkler.

Facit

80°

Hint

Vinkelsummen i en firkant er 360°.

Løsning

Den stiplede linje opdeler trapezet i en trekant og en firkant.

Vi får oplyst, at den stiplede linje står vinkelret på de to parallelle sider i trapezet. Dermed er to af vinklerne i firkanten rette.

Vinkel u er også en vinkel i firkanten. De andre vinkler i firkanten er hhv. 90°, 90° og 100°. Vi bestemmer vinkel u ved at benytte, at vinkelsummen i en firkant er 360°:

u + 90° + 90° + 100° = 360°

Vi lægger vinklerne på venstre side af lighedstegnet sammen:

u + 280° = 360°

Vi trækker 280° fra på begge sider af lighedstegnet:

u = 80°

Vinkel u er 80°.

15.2

Vinkel v er?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om vinkler.

Facit

50°

Hint

Den stiplede linje opdeler trapezet i en retvinklet trekant og en firkant.

Vinkelsummen i en trekant er 180°.

Løsning

Den stiplede linje opdeler trapezet i en retvinklet trekant og en firkant.

Vinkel v er en af vinklerne i den retvinklede trekant. Den anden ikke-rette vinkel i trekanten kalder vi w.

Vinkelsummen i en trekant er 180°, så hvis vi kan bestemme vinkel w, så kan vi benytte vinkelsummen til at bestemme vinkel v.

Vinkel w og vinklen på 140° er nabovinkler, dvs. at de tilsammen er 180°:

w + 140° = 180°

Vi trækker 140° fra på begge sider af lighedstegnet:

w = 40°

Vinkel w er 40°.

Vi benytter vinkelsummen i trekanten til at bestemme vinkel v:

v + 40° + 90° = 180°

Vi trækker 90° fra på begge sider af lighedstegnet:

v + 40° = 90°

Vi trækker 40° fra på begge sider af lighedstegnet:

v = 50°

Opgave 16

16.1

Længden af siden AB er?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om ligedannede figurer.

Facit

Hint

Siderne i trekant ABC er 3 gange så lange som siderne i trekant DEC.

Løsning

Vi får oplyst, at længdeforholdet mellem de ligedannede trekanter ABC og DEC er 3:1, dvs. at siderne i trekant ABC er 3 gange så lange som siderne i trekant DEC.

Vi får oplyst, at længden af siden DE er 4. Vi beregner længden af siden AB ved at gange længden af siden DE med 3:

3 · 4 = 12

Længden af siden AB er 12.

16.2

Længden af siden AC er?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om ligedannede figurer.

Facit

7,5

Hint

Da siden AC består af linjestykket AD og linjestykket DC, så må linjestykket AD være dobbelt så langt som siden DC:

Løsning

Vi får oplyst, at længdeforholdet mellem de ligedannede trekanter ABC og DEC er 3:1, dvs. at siderne i trekant ABC er 3 gange så lange som siderne i trekant DEC. Siden AC er derfor 3 gange så lang som siden DC.

Da siden AC består af linjestykket AD og linjestykket DC, så må linjestykket AD være dobbelt så langt som siden DC:

Vi får oplyst, at linjestykket AD har længden 5. Vi bestemmer længden af siden DC ved at dele længden af AD med 2:

$\frac{5}{2} = 2,5$

Længden af siden DC er 2,5.

Siden AC er 3 gange så lang som siden DC. Vi bestemmer længden af siden AC:

3 · 2,5 = 7,5

Længden af siden AC er 7,5.

16.3

Arealet af trekant ABC er hvor mange gange større end arealet af trekant DEC?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om ligedannede figurer.

Facit

Hint

Da siderne i den store trekant er 3 gange så lange som siderne i den lille trekant, så kan vi lægge tre kopier af den lille trekant langs hver side i den store trekant.

Løsning

Vi får oplyst, at længdeforholdet mellem de ligedannede trekanter ABC og DEC er 3:1, dvs. at siderne i trekant ABC er 3 gange så lange som siderne i trekant DEC.

Da siderne i den store trekant er 3 gange så lange som siderne i den lille trekant, så kan vi lægge tre kopier af den lille trekant langs hver side i den store trekant:

Der kan være 9 af de små trekanter i den store trekant i alt.

Arealet af trekant ABC er 9 gange så stort som arealet af trekant DEC.

Opgave 17

17.1

Hvilken ligning beskriver den rette linje m?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om koordinatsystemer.

Facit

y = x - 2

Hint

Linjen m er givet ved en ligning på formen y = a · x + b.

a er hældningen.

(0,b) er skæringspunktet med y-aksen.

Løsning

Linjen m er givet ved en ligning på formen y = a · x + b.

Vi aflæser i koordinatsystemet, at linjen m skærer y-aksen i punktet (0,-2). Dermed er b = -2.

Vi aflæser også i koordinatsystemet, at linjens hældning er a = 1.

Linjen m er givet ved ligningen y = x - 2.

17.2

Hvilket punkt ligger på linjen m?

Facit

B = (2,0)

Hint

Markér punkterne i koordinatsystemet.

Løsning

Punktet B = (2,0) ligger på linjen m:

Opgave 18

18.1

Cirka hvor mange procent svarede ’Efterskole’?

Facit

36%

(37% eller et tal mellem 35% og 37% er også et korrekt svar.)

Hint

Den nederste søjle viser hvor mange elever, der svarede 'Efterskole'.

18.2

Cirka hvor mange gange større er den procentdel af eleverne, der svarede ’10. klasse på en erhvervsskole’, end den procentdel der svarede ’Samme skole som nu’?

Facit

(6 eller tal mellem 5 og 6 er også korrekte svar.)

Hint

Aflæs, hvor stor en andel af eleverne, der svarede hhv. 'Samme skole som nu' og '10. klasse på erhvervsskole'.

Løsning

Vi aflæser, at ca. 3% af eleverne svarede 'Samme skole som nu'.

Vi aflæser også, at ca. 15% af eleverne svarede '10. klasse på erhvervsskole'.

15 er 5 gange større end 3, så andelen af elever, der svarede '10. klasse på erhvervsskole' (15%) er 5 gange større end andelen af elever, der svarede 'Samme skole som nu' (3%).

18.3

Cirka hvor mange procent flere elever svarede ’10. klasseskole’ end ’En anden folkeskole eller privatskole’?

Facit

50%

(Svar fra 50% til og med 62% er også korrekte.)

Hint

Beregn forskellen mellem andelen af elever, der svarede '10. klasseskole', og andelen af elever, der svarede 'En anden folkeskole eller privatskole'.

Løsning

Vi aflæser, at ca. 27% af eleverne svarede '10. klasseskole'.

Vi aflæser også, at ca. 18% af eleverne svarede 'En anden folkeskole eller privatskole'.

Forskellen mellem 18% og 27% er 9 procentpoint. Da 9 er halvdelen af 18, så er der 50% flere elever, der svarede '10. klasseskole' end 'En anden folkeskole eller privatskole'.

Opgave 19

19.1

De daglige besøgstal varierede mellem 4110 og ___?

Facit

7012

Hint

Løsning

Vi aflæser på boksplottet, at den største værdi er 7012. Den største værdi aflæses ved boksplottets højre "antenne".

19.2

50 % af dagene var besøgstallet mindst ___?

Facit

5994

Hint

50% af dagene var antallet af besøgende mindst medianen.

Løsning

Vi aflæser på boksplottet, at medianen er 5994.

50% af dagene var antallet af besøgende altså mindst 5994.

19.3

Hvor mange procent af dagene var der mindst 4680 besøgende?

Facit

75%

Hint

4680 er den nedre kvartil.

Løsning

Vi aflæser på boksplottet, at 4680 er den nedre kvartil. 75% af dagene var antallet af besøgende derfor mindst 4680.

Opgave 20

20.1

Hvilket glas giver Asger den største chance for at trække en hvid kugle?

Facit

Hint

Sandsynligheden for at trække en hvid kugle fra et glas kan bestemmes ved at dele antallet af hvide kugler med det samlede antal kugler i glasset.

Løsning

Sandsynligheden for at trække en hvid kugle fra et glas kan bestemmes ved at dele antallet af hvide kugler med det samlede antal kugler i glasset:

Glas	Sandsynlighed
A	$\frac{2}{5}$
B	$\frac{2}{10}$
C	$\frac{3}{10}$
D	$\frac{1}{2}$
E	$\frac{1}{6}$

Brøkerne $\tfrac{2}{5}$ , $\tfrac{2}{10}$ , $\tfrac{3}{10}$ og $\tfrac{1}{6}$ er alle mindre end $\tfrac{1}{2}$ , så glas D giver Asger den største chance for at trække en hvid kugle.

20.2

Hvilket glas giver Asger sandsynligheden $\tfrac{1}{5}$ for at trække en hvid kugle?

Facit

Hint

Sandsynligheden for at trække en hvid kugle fra et glas kan bestemmes ved at dele antallet af hvide kugler med det samlede antal kugler i glasset.

Løsning

Sandsynligheden for at trække en hvid kugle fra et glas kan bestemmes ved at dele antallet af hvide kugler med det samlede antal kugler i glasset:

Glas	Sandsynlighed
A	$\frac{2}{5}$
B	$\frac{2}{10}$
C	$\frac{3}{10}$
D	$\frac{1}{2}$
E	$\frac{1}{6}$

Brøken $\tfrac{2}{10}$ kan forkortes til $\tfrac{1}{5}$ .

$250 \cdot \frac{12}{100}$	=	$\frac{250}{100} \cdot 12$

	=	$2,5 \cdot 12$

	=	$2,5 \cdot (10 + 2)$

	=	$2,5 \cdot 10 + 2,5 \cdot 2$

	=

	=