Med hjælpemidler

2625 kr.

Gang antallet af solgte voksenbilletter (75) med prisen for en voksenbillet (25 kr.). Gør det samme for børnebilletter, og læg de to resultater sammen.

Vi beregner, hvor mange penge 9. A sælger billetter for:

75 · 25 + 75 · 10 = 2625

9. A sælger billetter for 2625 kr.

Vi får oplyst, at 9. A sælger 75 voksenbilletter à 25 kr. pr. stk. og 75 børnebilletter à 10 kr. pr. stk.

Det er vigtigt, at du ikke kun angiver facit, men at du også opstiller et regneudtryk:

75 · 25 + 75 · 10

4

Beregn først, hvor mange penge familien betaler for de tre voksenbilletter. Hvor mange penge betaler de for børnebilletter?

Vi beregner prisen for 3 voksenbilletter:

3 · 25 = 75

Vi beregner, hvor mange penge familien bruger på børnebilletter:

115 - 75 = 40

Vi beregner, hvor mange børnebilletter familien køber:

40 : 10 = 4

Familien køber 4 børnebilletter.

Familien betaler 115 kr. i alt. De betaler 75 kr. for tre voksenbilletter, så de betaler derfor 40 kr. for børnebilletter.

Da hver børnebillet koster 10 kr., så kan vi beregne, hvor mange børnebilletter familien køber ved at dele 40 kr. med 10 kr.

1500 kr.

Hvis 9. A skal aflevere 40% af beløbet til skolen, så kan de beholde 60%.

9. A kan beholde 60% af de 2500 kr.:

2500 · 0,6 = 1500

9. A kan beholde 1500 kr.

Hvis 9. A skal aflevere 40% af beløbet til skolen, så kan de beholde 60%. Da 60% = 0,6, så bestemmer vi 60% af 2500 kr. ved at gange 2500 kr. med 0,6.

x · 0,6 kr.

Benyt samme fremgangsmåde som i opg. 1.3.

9. A kan beholde 60% af de x kr.:

x · 0,6

9. A kan beholde x · 0,6 kr.

Vi benytter samme fremgangsmåde som i opg. 1.3. I denne opgave er beløbet, som klassen sælger billetter for, x kr. i stedet for 2500 kr.

75 børnebilletter og 150 voksenbilletter

Du kan fx lave en tabel som nedenstående:

Vi opstiller en tabel, som viser hvor mange penge 9. A sælger billetter for:

9. A forventer at sælge 75 børnebilletter og 150 voksenbilletter.

Vi har prøvet os frem med forskellige antal solgte børnebilletter.

Vi får oplyst, at 9. A forventer at sælge dobbelt så mange voksenbilletter som børnebilletter, så vi beregner antallet af voksenbilletter ved at gange antallet af børnebilletter med 2.

Vi beregner 9. A's indtægt ved at gange antallet af børnebilletter med prisen for en børnebillet (10 kr.) og antallet af voksenbilletter med prisen for en voksenbillet (25 kr.) og lægge de to tal sammen.

Trapez og rektangel

Den skraverede firkant har fire rette vinkler.

Den ikke-skraverede firkant har to parallelle sider.

Den skraverede firkant har fire rette vinkler, så den skraverede firkant er et rektangel.

Den ikke-skraverede firkant har to parallelle sider, så den ikke-skraverede firkant er et trapez.

Et rektangel er en firkant, hvor alle fire vinkler er rette (90°). Da den skraverede firkant har fire rette vinkler, så er den skraverede firkant et rektangel.

Et trapez er en firkant, hvor to af siderne er parallelle. Den ikke-skraverede firkant har to parallelle sider (siden med længden 4 cm og siden, som firkanten deler med den anden firkant), så den ikke-skraverede firkant er et trapez. 

Tegn diagonalerne i firkanten.

Eleverne kan finde midten af den skraverede firkant ved at tegne diagonalerne i firkanten. Diagonalernes skæringspunkt er midten af firkanten.

En diagonal er et linjestykke, der går fra ét hjørnepunkt til det modstående hjørnepunkt:

Diagonalerne i et rektangel skærer hinanden i rektanglets midtpunkt.

Mellem 31,0 cm og 40,8 cm.

Du kan fx tegne et træstykke i et dynamisk geometriprogram (fx GeoGebra™). Tegn et træstykke, hvor b er 15 cm, og et træstykke, hvor b er 25 cm.

Vi tegner et træstykke, hvor længden b er 15 cm:

Længden af a er 40,8 cm.

Vi tegner et træstykke, hvor længden b er 25 cm:

Længden af a er 31,0 cm.

Længden a er mellem 31,0 cm og 40,8 cm.

Du skal lave en præcis tegning for at kunne aflæse, hvilke længder siden a kan få.

Alternativ løsning:

Du kan også løse opgaven ved at benytte Pythagoras' sætning.

Hvis b er 15 cm, så har vi følgende mål:

Længden af siden a er:

Hvis b er 25 cm, så har vi følgende mål:

Længden af siden a er:

8

Husk, at der skal bruges 4 træstykker til hver af de 20 juletræsfødder.

Vi får oplyst, at 9. A vil lave 20 juletræsfødder. Der skal bruges 4 træstykker til hver juletræsfod, så 9. A skal lave 80 træstykker.

Træstykkerne lægges ved siden af hinanden:

To træstykker, der ligger ved siden af hinanden som herover, er 90 cm lange.

Vi beregner, hvor mange gange, der kan ligge to træstykker ved siden af hinanden på et brædde:

450 : 90 = 5

Der kan ligge to træstykker ved siden af hinanden 5 gange på et brædde, dvs. at der kan skæres 10 træstykker ud af et brædde.

Da 9. A skal bruge 80 træstykker i alt, så skal de bruge 8 brædder.

Der skal bruges 4 træstykker til hver juletræsfod. Til 20 juletræsfødder skal der derfor bruges 20 · 4 træstykker, dvs. 80 træstykker.

Vi kan tilføje en trekant til skitsen af et træstykke:

Trekanten (kateterne er de stiplede linjer) er en retvinklet trekant, hvor længden af kateterne er 40 og 8.

Vi kan tegne en ny trekant, der er ligedannet med den første trekant, men hvor den korte katete har længden 4:

Da de to trekanter er ligedannede, så er forholdet mellem trekanternes sider det samme. Den korte katete er 8 i den ene trekant og 4 i den anden, dvs. at siderne i den lille trekant er halvt så lange som siderne i den store trekant. Da længden af den anden katete i den store trekant er 40, så er længden af den anden katete i den lille trekant 20.

Vi kan derfor lægge to træstykker op ad hinanden på denne måde:

Længden af de to træstykker er:

55 + 20 + 15 = 90

Der skal altså bruges 90 cm af et brædde til to træstykker.

Vi får oplyst, at et brædde er 450 cm. Vi beregner, hvor mange gange vi kan skære to træstykker ud af et brædde ved at dele 450 cm med 90 cm.

Et brædde på 450 cm kan opdeles i 5 stykker à 90 cm, dvs. at der kan skæres 10 træstykker ud af et brædde.

9. A skal bruge 80 træstykker. Da der kan skæres 10 træstykker ud af hvert brædde, så skal de bruge 80 : 10 = 8 brædder.

Alternativ løsning:

Hvis træstykkerne lægges efter hinanden som herover, så kan vi beregne, hvor mange træstykker, der kan skæres ud af hvert brædde. ved at dele længden af et brædde (450 cm) med længden af et træstykke (55 cm):

450 : 55 ≈ 8,2

Der kan skæres 8 træstykker ud af hvert brædde.

Der skal bruges 80 træstykker i alt. Da der kan skæres 8 træstykker ud af hvert brædde, så skal de bruge 80 : 8 = 10 brædder.

1,5 kg

Beregn først, hvor mange gram kaffebønner eleverne skal bruge. Omregn derefter til kilogram.

Vi beregner, hvor mange gram kaffebønner eleverne skal bruge til 25 L:

25 · 60 = 1500

Eleverne skal bruge 1500 g. Da 1500 g er 1,5 kg, så skal eleverne bruge 1,5 kg kaffebønner.

Vi får oplyst, at eleverne skal bruge 60 gram kaffebønner til 1 L kaffe. Til 25 L skal der bruges 25 gange så mange kaffebønner, dvs. 25 · 60 gram.

Der er 1000 g på 1 kg, så vi omregner 1500 g til kg ved at dele med 1000.

125

Beregn først, hvor mange engangskrus der skal bruges til 1 L kaffe. Husk, at 0,2 = 1/5.

Der kan være 0,2 L kaffe i et engangskrus, dvs. at der skal bruges fem engangskrus til 1 L kaffe.

Vi beregner, hvor mange engangskrus der skal bruges til 25 L kaffe:

25 · 5 = 125

Eleverne skal bruges 125 engangskrus.

Da 0,2 = 1/5, så kan der være 1/5 L kaffe i et engangskrus. Der skal derfor bruges 5 engangskrus til 1 L kaffe. Der skal bruges 25 gange så mange krus til 25 L kaffe, dvs. at der skal bruges 25 · 5 engangskrus.

Beregn først, hvor mange liter kaffe eleverne kan brygge af 500 g kaffebønner.

Vi beregner, hvor mange liter kaffe der kan brygges af 500 g kaffebønner:

500 : 60 ≈ 8,33

Der kan brygges 8,33 L kaffe.

Vi beregner, hvor mange engangskrus der skal bruges til 8,33 L kaffe:

5 · 8,33 = 41,65

Eleverne kan brygge kaffe til ca. 40 engangskrus.

Vi får oplyst, at der skal bruges ca. 60 g kaffebønner pr. liter kaffe. Vi beregner derfor, hvor mange liter kaffe vi kan brygge af 500 g kaffebønner, ved at dele 500 med 60. 

Vi beregner efterfølgende, hvor mange engangskrus der skal bruges til 8,33 L kaffe. Vi beregnede i opg. 3.2, at der skal bruges 5 engangskrus pr. liter kaffe, så der skal bruges 8,33 gange så mange krus til 8,33 L kaffe.

Vi viste i opg. 3.3, at eleverne kan brygge kaffe til ca. 40 engangskrus af 500 g kaffebønner. Hvis eleverne sælger mellem 0 og 40 engangskrus, så skal de altså købe 1 pose kaffebønner og 1 pakke med engangskrus.

Vi tegner en graf, der viser sammenhængen mellem antal solgte engangskrus med kaffe og de samlede udgifter (i kr.) til kaffebønner og engangskrus:

Vi viste i opg. 3.3, at eleverne kan brygge kaffe til ca. 40 engangskrus af 500 g kaffebønner.

Hvis eleverne sælger mellem 0 og 40 engangskrus, så skal de købe 1 pose kaffebønner og 1 pakke med engangskrus. Udgiften til kaffebønner og engangskrus er derfor:

39,5 + 18,5 = 58

Hvis eleverne sælger mellem 41 og 80 engangkrus, så skal de købe 2 poser kaffebønner og 2 pakker engangskrus. Udgiften til kaffebønner og engangskrus er derfor:

2 · 58 = 116

Hvis eleverne sælger mellem 81 og 120 engangkrus, så skal de købe 3 poser kaffebønner og 3 pakker engangskrus. Udgiften til kaffebønner og engangskrus er derfor:

3 · 58 = 174

Hvis eleverne sælger mellem 121 og 160 engangkrus, så skal de købe 4 poser kaffebønner og 4 pakker engangskrus. Udgiften til kaffebønner og engangskrus er derfor:

4 · 58 = 232

147

Beregn elevernes indtægt ved at gange antal solgte engangskrus med kaffe med 5.

Beregn elevernes overskud ved at trække udgifterne fra indtægterne.

Vi beregner elevernes udgifter og indtægter:

Eleverne skal sælge mindst 147 engangskrus med kaffe for at få et overskud på mindst 500 kr.

Vi beregnede i opg. 3.4, at hvis eleverne sælger mellem 121 og 160 engangskrus, så skal de betale 232 kr. for kaffebønner og engangskrus.

Vi får oplyst, at eleverne sælger kaffe til 5 kr. pr. krus. Vi beregner elevernes indtægt ved at gange antal solgte engangskrus med kaffe med 5.

Vi beregner elevernes overskud ved at trække udgifterne fra indtægterne.

Du kan se vores beregninger herunder:

4

Bestem gennemsnittet af tallene i kolonnen med "9. A".

Vi bestemmer gennemsnittet:

Eleverne i 9. A forventer at give ca. 4 julegaver i gennemsnit.

Vi bestemmer gennemsnittet af tallene med formlen "MIDDEL":

Vi afrunder til et helt tal, da det ikke er muligt at give 0,07 gave.

Vi kan aflæse mindsteværdien, den nedre kvartil, medianen, den øvre kvartil og størsteværdien på et boksplot:

Boksplottet viser, at eleverne i 9. B forventer at give mellem 0 og 9 julegaver.

25% af eleverne forventer at give 0 - 2 julegaver.

25% af eleverne forventer at give 2 - 4 julegaver.

25% af eleverne forventer at give 4 - 6 julegaver.

25% af eleverne forventer at give 6 - 9 julegaver.

Mindsteværdien er 0, og størsteværdien er 9, så eleverne forventer at give mellem 0 og 9 julegaver.

• 25% af dataene ligger mellem mindsteværdien og den nedre kvartil, så 25% af eleverne forventer at give mellem 0 og 2 julegaver.
• 25% af dataene ligger mellem den nedre kvartil og medianen, så 25% af eleverne forventer at give mellem 2 og 4 julegaver.
• osv.

Bestem fx minimum, maksimum, median og variationsbredde for begge fordelinger af data.

Herunder ses minimum, maksimum, kvartilerne og variationsbredden for data fra 9. A og 9. B:

Vi kan se, at fordelingen af data fra 9. A og fordelingen af data fra 9. B begge har medianen 4, dvs. at halvdelen af eleverne i hver klasse forventer at give mindst 4 gaver, mens den anden halvdel i hver klasse forventer at give højst 4 gaver.

Variationsbredden er 5 for fordelingen af data fra 9. A, mens variationsbredden er 9 for fordelingen af data fra 9. B. Der er altså større forskel på, hvor mange gaver eleverne i 9. B forventer at give, end hvor mange gaver eleverne i 9. A forventer at give.

Vi aflæser minimum, maksimum og kvartilerne for fordelingen af data fra 9. B på boksplottet:

Vi bestemmer minimum, maksimum og kvartilerne for fordelingen af data fra 9. A. Du kan se vores beregninger her:

Vi bestemmer variationsbredden ved at trække minimum fra maksimum:

variationsbredde = maksimum - minimum

Hvis vi ser bort fra hjørnerne, så består hver figur af fire rektangler. Antallet af røde kvadrater i hvert rektangel er det samme som figurnummeret.

Vi tegner figur 4:

Hvis vi ser bort fra hjørnerne, så består hver figur af fire rektangler. Antallet af røde kvadrater i hvert rektangel er det samme som figurnummeret.

Figur 4 består derfor af fire rektangler med 4 røde kvadrater i hver:

4

Tæl antallet af røde kvadrater i figur 1, 2, 3 og 4.

Hvis vi ser bort fra hjørnerne, så består hver figur af fire rektangler. Antallet af røde kvadrater i hvert rektangel er det samme som figurnummeret. I figur 10 er der derfor 10 røde kvadrater i hvert rektangel, og i figur 11 er der 11 røde kvadrater i hvert rektangel. Der er altså ét rødt kvadrat mere i hvert rektangel i figur 11 end i figur 10.

Da der er fire rektangler i hver figur, så er der 4 røde kvadrater mere i figur 11 end i figur 10.

Figur 10 består af fire rektangler med 10 røde kvadrater i hver samt fire røde kvadrater i hjørnerne.

Figur 11 består af fire rektangler med 11 røde kvadrater i hver samt fire røde kvadrater i hjørnerne.

Da der er ét rødt kvadrat mere i hvert rektangel i figur 11 end i figur 10, og der er fire rektangler i hvert figur, så er der 4 · 1 røde kvadrater mere i figur 11 end i figur 10.

Brug Alberts formel til at beregne antallet af røde kvadrater i figur 1.

Vi bruger Alberts formel til at beregne antallet af røde kvadrater i figur 1:

4 · 1 + 2 = 6

Der er 8 røde kvadrater i figur 1, men ifølge Alberts formel er der kun 6. Albert tager altså fejl, når han siger, at antallet af røde kvadrater i figur n er 4 · n + 2.

Ifølge Albert er der 4 · n + 2 røde kvadrater i figur n, dvs. at der er 4 · 1 + 2 røde kvadrater i figur 1.

Du kan beregne antallet af røde kvadrater i figur 3 på følgende måde:

3 + 3 + 3 + 3 + 4 · 1

Hvis vi ser bort fra hjørnerne, så består hver figur af fire rektangler. Antallet af røde kvadrater i hvert rektangel er det samme som figurnummeret.

Vi kan beregne antallet af røde kvadrater i hver figur ved at lægge antallet af røde kvadrater i hvert rektangel sammen og lægge 4 til (antallet af kvadrater i hjørnerne):

Antallet af røde kvadrater i figur n er n + n + n + n + 4.

Hvis vi ser bort fra de røde kvadrater i hjørnerne, så består figur 3 af fire rektangler. Der er 3 røde kvadrater i hvert rektangel:

Vi kan tælle antallet af røde kvadrater i figur 3 på følgende måde:

3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 +1

1 + 1 + 1 +1 er antallet af røde kvadrater i hjørnerne. Der er fire røde kvadrater i hjørnerne af hver figur, så vi skriver 4 i stedet for 1 + 1 + 1 +1 og får dermed:

3 + 3 + 3 + 3 + 4

Vi bestemmer antallet af røde kvadrater i figur 1 og figur 2 på samme måde:

Vi kan se, at antallet af røde kvadrater er figurnummeret lagt sammen 4 gange plus 4. Antallet af røde kvadrater i figur n er dermed

n + n + n + n + 4

Du kan omskrive begge udtryk til 4n + 4.

Vi omskriver Luccas udtryk:

n + n + n + n + 4   →   4n + 4

Vi omskriver Frederikkes udtryk:

(n + 2)² - n²   →   4n + 4

Både Luccas og Frederikkes udtryk kan omskrives til 4n + 4, dvs. at de to udtryk svarer til hinanden. Hvis Lucca har ret, så har Frederikke altså også ret.

Du kan omskrive de to udtryk i et CAS-værktøj, fx GeoGebra™.

Omskriv Luccas udtryk i GeoGebra ved at skrive n+n+n+n+4 i CAS-vinduet.

Omskriv Frederikkes udtryk i GeoGebra ved at skrive (n+2)^2-n^2 i CAS-vinduet.

Vi har vist, at

n + n + n + n + 4 = (n + 2)² - n²

Hvis Lucca har ret, så har Frederikke altså også ret.

2 trekanter opfylder betingelse 1.

6 trekanter opfylder betingelse 2.

To trekanter er ligedannede, hvis forholdet mellem de ensliggende sider er det samme, dvs. hvis den ene trekant er en forstørrelse af den anden:

Vi tegner trekanter, der opfylder betingelse 1:

Vi tegner trekanter, der opfylder betingelse 2.

Trekanter, der er ligedannede med trekant A:

Trekanter, der er ligedannede med trekant B:

Trekanter, der opfylder betingelse 1

Vi får oplyst, at trekanten skal have en side med længden 3 og en side med længden 4.

Vi tegner først en trekant (A), hvor kateterne har længderne 3 og 4.

Vi tegner derefter en trekant (B), hvor den ene katete har længden 3 og hypotenusen har længden 4.

Hypotenusen er den længste side i trekanten, så vi kan ikke tegne en trekant, hvor hypotenusen har længden 3 og en af kateterne har længden 4. Der findes derfor kun 2 trekanter, der opfylder betingelse 1.

Trekanter, der opfylder betingelse 2

To trekanter er ligedannede, hvis forholdet mellem de ensliggende sider i trekanterne er det samme, dvs. hvis den ene trekant er en forstørrelse af den anden.

Vi ser først på trekant A.

• Den korteste katete har længden 3. Hvis vi tegner en trekant, hvor alle siderne er 4 gange så lange som siderne i trekant A, så får vi en trekant, der er ligedannet med trekant A, og hvor den korteste katete har længden 12.
• Den længste katete har længden 4. Hvis vi tegner en trekant, hvor alle siderne er 3 gange så lange som siderne i trekant A, så får vi en trekant, der er ligedannet med trekant A, og hvor den længste katete har længden 12.
• Hypotenusen har længden 5. Hvis vi tegner en trekant, hvor alle siderne er 12/5 gange så lange som siderne i trekant A, så får vi en trekant, der er ligedannet med trekant A, og hvor hypotenusen har længden 12.

Vi ser nu på trekant B.

• Den korteste katete har længden 2,65. Hvis vi tegner en trekant, hvor alle siderne er 4,53 gange så lange som siderne i trekant B, så får vi en trekant, der er ligedannet med trekant B, og hvor den korteste katete har længden 12.
• Den længste katete har længden 3. Hvis vi tegner en trekant, hvor alle siderne er 4 gange så lange som siderne i trekant B, så får vi en trekant, der er ligedannet med trekant B, og hvor den længste katete har længden 12.
• Hypotenusen har længden 4. Hvis vi tegner en trekant, hvor alle siderne er 3 gange så lange som siderne i trekant B, så får vi en trekant, der er ligedannet med trekant B, og hvor hypotenusen har længden 12.