Med hjælpemidler

Her finder du facit og vores løsninger til opgaverne i prøven med hjælpemidler fra Matematik FP9 2. december 2022.

Indhold

Opgave 1 - I skøjtehallen
Opgave 2 - Skøjtekonkurrence
Opgave 3 - Skiløb
Opgave 4 - Temperatur
Opgave 5 - Middeltemperatur i januar
Opgave 6 - En regneopskrift
Opgave 7 - Firkanter med arealet 4

Opgave 1 - I skøjtehallen

1.1

Hvor stor er prisforskellen på et 10-turskort til børn og et 10-turskort til voksne?

Facit

246 kr.

Hint

Træk prisen på et 10-turskort til børn fra prisen på et 10-turskort til voksne.

Løsning

Vi beregner forskellen mellem prisen på et 10-turskort til voksne og prisen på et 10-turskort til børn:

465 - 219 = 246

Prisforskellen er på 246 kr.

Kommentarer til løsningen

Vi får oplyst prisen på 10-turskort til både børn og voksne. Vi bestemmer prisforskellen ved at trække prisen på et 10-turskort til børn fra prisen på et 10-turskort til voksne.

Det er vigtigt, at du ikke kun angiver et facit, men at du også opstiller et regneudtryk:

465 - 219

1.2

Hvor mange penge sparer Magnus pr. tur i skøjtehallen, hvis han køber et 10-turskort i stedet for 10 enkeltbilletter?

Facit

3,10 kr.

Hint

Beregn prisen pr. tur i skøjtehallen, hvis Magnus køber et 10-turskort.

Løsning

Vi beregner prisen pr. tur i skøjtehallen, hvis Magnus køber et 10-turskort:

219: 10 = 21,9

Vi beregner forskellen mellem prisen på en enkeltbillet og prisen pr. tur, hvis Magnus køber et 10-turskort:

25 - 21,9 = 3,1

Magnus sparer 3,10 kr. pr. tur i skøjtehallen, hvis han køber et 10-turskort.

Kommentarer til løsningen

Vi får oplyst, at Magnus er 15 år, så han kan købe et 10-turskort til børn.

Vi beregner prisen pr. tur i skøjtehallen, hvis han køber et 10-turskort, ved at dele prisen på 10-turskortet med 10.

Derefter beregner vi forskellen mellem prisen på en enkeltbillet og prisen pr. tur, hvis Magnus køber et 10-turskort.

1.3

Hvor mange procent koster 3-månederskort mere for voksne end for børn?

Facit

84,72%

Hint

Beregn først forskellen mellem priserne på de to 3-månederskort.

Del derefter forskellen med prisen på et 3-månederskort til børn.

Løsning

Vi beregner forskellen mellem prisen på et 3-månederskort til voksne og prisen på et 3-månederskort til børn:

665 - 360 = 305

Vi beregner, hvor meget mere et 3-månederskort til voksne koster end et 3-månederskort til børn:

305/360 ≈ 0,8472222

Et 3-månederskort til voksne koster 84,72% mere end et 3-månederskort til børn.

Kommentarer til løsningen

Regneudtrykket giver et decimaltal, som vi omregner til procent, da opgaven spørger til forskellen i procent.

1.4

Undersøg, hvor mange gange Magnus skal gå i skøjtehallen på 3 måneder, for at det bedst kan betale sig for ham at købe

enkeltbilletter
10-turskort
et 3-månederskort.

Facit

Enkeltbilletter: 1-8 gange eller 11-14 gange

10-turskort: 9-10 gange

Et 3-månederskort: mindst 15 gange

Hint

Beregn prisen for at tage i skøjtehallen fx 1, 2, ..., 20 gange, hvis Magnus køber hhv. enkeltbilletter, 10-turskort og et 3-månederskort.

Husk, at hvis Magnus tager i skøjtehallen mere end 10 gange, så skal han købe flere 10-turskort.

Løsning

Vi beregner, hvad Magnus skal betale i alt for at tage i skøjtehallen mellem 1 og 20 gange med hhv. enkeltbilletter, 10-turskort og et 3-månederskort:

Det kan bedst betale sig for Magnus at købe

enkeltbilletter, hvis han tager afsted 1-8 gange eller 11-14 gange
10-turskort, hvis han tager afsted 9-10 gange
et 3-månederskort, hvis han tager afsted mindst 15 gange.

Kommentarer til løsningen

Enkeltbilletter: Vi beregner den samlede pris ved at gange antallet af ture med prisen for en enkeltbillet (25 kr.)
10-turskort: Magnus kan komme i skøjtehallen 10 gange med et 10-turskort, så hvis han tager afsted 1-10 gange, så er den samlede pris prisen på et 10-turskort (219 kr.). Hvis Magnus skal afsted 11-20 gange, så er den samlede pris prisen på to 10-turskort.
Et 3-månederskort: Den samlede pris er prisen på et 3-månederskort (360 kr.), uanset hvor mange gange Magnus tager i skøjtehallen.

I hver række i tabellen har vi sammenlignet prisen for enkeltbilletter, 10-turskort og et 3-månederskort og markeret den laveste pris.

Du kan se vores beregninger her:

Opgave 2 - Skøjtekonkurrence

2.1

Du skal sammenligne data for de tre skøjteløbere og skrive en begrundelse, træneren kan have for at vælge hver af de tre skøjteløbere. Det vil sige en begrundelse for at vælge

Anna
Petra
Sigrid.

Hint

Bestem for hver skøjteløber

den hurtigste tid
den langsomste tid
gennemsnittet af alle 10 tider.

Løsning

Vi benytter Excel til at sortere hver af de tre skøjteløberes tider fra hurtigste til langsomste og beregne gennemsnittet:

Begrundelse for at vælge Anna

Anna har gennemført 500 m hurtigløb på 44,1 sekunder. Anna har dermed den hurtigste tid blandt alle tre skøjteløberes 10 seneste tider.

Træneren kan vælge Anna, fordi hun har den bedste tid blandt de 10 seneste tider.

Begrundelse for at vælge Petra

Petras 10 seneste tider på 500 m hurtigløb er alle på højst 45,0 sekunder. Anna og Sigrid har begge tider på mere end 45,0 sekunder. Blandt de tre skøjteløberes langsomste tider, har Petra derfor den bedste tid.

Træneren kan vælge Petra, fordi hun er den eneste, hvis tider alle er højst 45,0 sekunder.

Begrundelse for at vælge Sigrid

Gennemsnittet af Sigrids tider er 44,7 sekunder. Gennemsnittet af Annas og Petras tider er hhv. 44,9 sekunder og 44,8 sekunder. Gennemsnittet af Sigrids tider er derfor lavere end gennemsnittet af Annas tider og gennemsnittet af Petras tider.

Træneren kan vælge Sigrid, fordi hun har den bedste gennemsnitlige tid.

Kommentarer til løsningen

Vi har brugt funktionen "Sortér og filtrer" til at sortere tiderne fra hurtigst til langsomst:

Vi har benyttet funktionen "MIDDEL" til at bestemme gennemsnittet af hver skøjteløbers tider:

Opgave 3 - Skiløb

3.1

Tegn tværsnittet i et målestoksforhold, du selv bestemmer. Du behøver ikke at skrive, hvilket målestoksforhold du bruger.

Hint

Du kan fx tegne tværsnittet i GeoGebra™.

Start med at tegne et linjestykke. Afsæt derefter en vinkel på 8° i den ene ende af linjestykket. Tegn en linje, der står vinkelret på linjestykket, i den anden ende af linjestykket.

Løsning

Kommentarer til løsningen

Du kan tegne tværsnittet i GeoGebra™ på følgende måde:

Tegn først et linjestykke ved at vælge "Linjestykke". Klik først ét sted på tegneblokken og derefter et andet sted længere til højre på tegneblokken. Sørg for at tegne linjestykket, så det er nogenlunde vandret.
Afsæt vinklen på 8° ved at vælge "Vinkel med given størrelse". Klik først på punktet A, så på punktet B. Skriv "8°" og vælg "med uret" i den firkant, der dukker op. GeoGebra afsætter et punkt A', så linjen gennem B og A' danner en vinkel på 8° med linjestykket AB.
Tegn linjen gennem B og A' ved at vælge "Linje". Klik først på det ene punkt og derefter på det andet punkt.
Tegn den sidste side i trekanten ved at vælge "Vinkelret linje". Klik først på punkt A og derefter på linjestykket AB.
Du har nu tegnet tværsnittet.

3.2

Forklar, hvorfor højden af denne pist er ca. 3 gange så stor, som højden af pisten på skitsen.

Hint

I ensvinklede trekanter er forholdet mellem de ensliggende sider det samme:

Løsning

Vi får oplyst, at begge pister, som Sofia prøver, har en konstant hældning på 8°. Tværsnittet af de to pister er derfor to ensvinklede trekanter.

Vi får oplyst, at længden af den anden pist er ca. 1200 m, dvs. at den er 3 gange så lang som pisten på skitsen. Da tværsnittene er to ensvinklede trekanter, så er forholdet mellem de ensliggende sider det samme. Højden af den anden pist er derfor også ca. 3 gange så stor som højden af pisten på skitsen.

Kommentarer til løsningen

Her er en skitse af tværsnittet af de to pister:

Tværsnittene har begge en ret vinkel og en vinkel på 8°. De sidste vinkler i tværsnittene er derfor også lige store. Tværsnittene er altså to ensvinklede trekanter.

I ensvinklede trekanter er forholdet mellem de ensliggende sider det samme, så

$\frac{\text{h\o jden af den anden pist}}{\text{h\o jden af pisten p\aa \ skitsen}} = \frac{\text{l\ae ngden af den anden pist}}{\text{l\ae ngden af pisten p\aa \ skitsen}}$

Vi får oplyst, at længden af den anden pist er ca. 1200 m, og at længden af pisten på skitsen er ca. 400 m, så

$\frac{\text{h\o jden af den anden pist}}{\text{h\o jden af pisten p\aa \ skitsen}} \approx \frac{1200}{400} = 3$

3.3

Brug formlen i den gule boks til at undersøge, om Sofias mor har ret.

Facit

Sofias mor har næsten ret.

Hint

I en retvinklet trekant er

$\tan(v) = \frac{\text{modst\aa ende katete}}{\text{hosliggende katete}}$

Løsning

Vi får oplyst, at

$\text{Gennemsnitligt fald} = \frac{h}{a}$

Vi ved, at i en retvinklet trekant er

$\tan(v) = \frac{\text{modst\aa ende katete}}{\text{hosliggende katete}}$

Vi beregner det gennemsnitlige fald, hvis vinklen er 8°:

$\begin{align*} \text{Gennemsnitligt fald} &= \frac{h}{a} \\[1em] &= \tan(8\degree) \\[1em] &\approx 0,1405408 \\[1em] &\approx 14,1% \end{align}$

Vi beregner det gennemsnitlige fald, hvis vinklen er 15°:

$\begin{align*} \text{Gennemsnitligt fald} &= \frac{h}{a} \\[1em] &= \tan(15\degree) \\[1em] &\approx 0,2679492 \\[1em] &\approx 26,8% \end{align}$

En hældning på 8° til 15° svarer til et gennemsnitligt fald på ca. 14,1% til 26,8%, så Sofias mor har næsten ret.

Kommentarer til løsningen

Vi tilføjer pistens hældning v til figuren i den gule boks i opgaven:

Da trekanten er retvinklet, så er

$\begin{align*} \tan(v) &= \frac{\text{modst\aa ende katete}}{\text{hosliggende katete}} \\[1em] &= \frac{h}{a} \end{align}$

Vi får oplyst, at

$\text{Gennemsnitligt fald} = \frac{h}{a}$

De to ligninger giver os tilsammen, at

$\text{Gennemsnitligt fald} = \frac{h}{a} = \tan(v)$

Vi omregner fra decimaltal til procent ved at rykke kommaet to pladser mod højre og tilføje "%". Fx er 0,02 = 2%.

Opgave 4 - Temperatur

4.1

Hvor mange grader fahrenheit svarer 0 grader celcius til?

Facit

32 grader fahrenheit

Hint

Sæt C = 0 ind i formlen i den gule boks i opgaven.

Løsning

Vi omregner 0 grader celcius til grader fahrenheit:

1,8 · 0 + 32 = 32

0 grader celcius er 32 grader fahrenheit.

Kommentarer til løsningen

Vi får oplyst, at C er temperaturen i grader celcius, så vi sætter C = 0 ind i formlen og beregner F, som er temperaturen i grader fahrenheit.

4.2

Hvor mange grader celcius svarer 212 grader fahrenheit til?

Facit

100 grader celcius

Hint

Sæt F = 212 ind i formlen i den gule boks i opgaven og isolér C.

Løsning

Vi omregner 212 grader fahrenheit til grader celcius:

212 = 1,8 · C + 32 → C = 100

212 grader fahrenheit er 100 grader celcius.

Kommentarer til løsningen

Du kan løse ligningen i et CAS-værktøj, fx GeoGebra™. Du kan løse ligningen i GeoGebra ved at skrive Løsninger(212=1.8C+32) i CAS-vinduet og trykke Enter.

4.3

Tegn en graf, der viser sammenhængen mellem temperaturer målt i grader celcius og grader fahrenheit.

Hint

Vi kan tænke på temperaturen i grader fahrenheit som en funktion af temperaturen i grader celcius:

f(x) = 1,8 · x + 32

f(x) er temperaturen i grader fahrenheit, og x er temperaturen i grader celcius.

Løsning

Vi kan tænke på temperaturen i grader fahrenheit som en funktion af temperaturen i grader celcius:

f(x) = 1,8 · x + 32

f(x) er temperaturen i grader fahrenheit, og x er temperaturen i grader celcius.

Vi tegner grafen for f:

Kommentarer til løsningen

Vi kan se, at formlen beskriver en lineær sammenhæng, så vi kan bestemme en lineær funktion, der beskriver sammenhængen mellem temperaturen i grader celcius, x, og temperaturen i grader fahrenheit, f(x).

Du kan tegne grafen i et CAS-værktøj, fx GeoGebra™. Du kan tegne grafen i GeoGebra ved at skrive f(x)=1.8x+32 i input-feltet.

4.4

Har Magnus ret i sin påstand?

Facit

Nej.

Hint

Isolér F i Magnus' formel og sammenlign resultatet med formlen i den gule boks.

Løsning

Vi undersøger, om Magnus har ret i sin påstand ved at isolere F i Magnus' formel og se, om vi får en formel, der svarer til formlen i den gule boks:

$C = \frac{F}{1,8} - 32 \quad \rightarrow \quad F = 1,8 \cdot C + 57,6$

Når vi isolerer F i Magnus' formel, så får vi

F = 1,8 · C + 57,6

Da formlen ikke er den samme som formlen i den gule boks, så har Magnus ikke ret i sin påstand.

Kommentarer til løsningen

Du kan isolere F i ligningen i et CAS-værktøj, fx GeoGebra™. Du kan isolere F i ligningen i GeoGebra ved at skrive Løsninger(C=(F/1.8)-32,F) i CAS-vinduet og trykke på "≈".

Magnus har lavet en fejl, da han isolerede C i ligningen. Når vi isolerer C, så trækker vi først 32 fra på begge sider af lighedstegnet i ligningen og får så:

$F - 32 = 1,8\cdot C$

Vi deler nu med 1,8 på begge sider af lighedstegnet. Både F og -32 skal deles med 1,8:

$C = \frac{F}{1,8} - \frac{32}{1,8}$

Magnus har glemt at dele -32 med 1,8.

Opgave 5 - Middeltemperatur i januar

5.1

Hvor mange år var middeltemperaturen for januar over 4 grader celsius?

Facit

Hint

Middeltemperaturen aflæses på y-aksen i koordinatsystemet i opgaven.

Løsning

Middeltemperaturen for januar var over 4 grader celsius 7 gange i perioden 1874 - 2021.

Kommentarer til løsningen

Vi aflæser i koordinatsystemet i opgaven, at der er 7 punkter, der ligger over linjen ud for 4 på y-aksen, dvs. at der var 7 år, hvor middeltemperaturen var over 4 grader celsius.

5.2

Hvad var middeltemperaturen for januar i den 30-årige periode fra 1992 til 2021?

Facit

1,6 grader celsius

Hint

Middeltemperaturen for januar hvert år fra 1992 til 2021 kan aflæses i Excel-filen. Gennemsnittet af disse tal er middeltemperaturen for januar i perioden 1992 - 2021.

Løsning

Vi beregner gennemsnittet af middeltemperaturerne for januar fra 1992 til 2021:

Middeltemperaturen for januar i den 30-årige periode fra 1992 til 2021 var 1,6 grader celsius.

Kommentarer til løsningen

Du kan se den formel, vi har brugt, herunder:

5.3

Er du enig i, at middeltemperaturerne steg? Du skal bruge datasættet til at begrunde dit svar.

Hint

Du kan argumentere for dit svar på mange forskellige måder. Du kan fx se på middeltemperaturen for januar i hele perioden fra 1874 til 2021 og sammenligne med svaret fra opgave 5.2.

Løsning

Vi beregner gennemsnittet af middeltemperaturerne for januar fra 1874 til 2021:

Middeltemperaturen for januar i perioden fra 1874 til 2021 var 0,4 grader celsius.

Vi er enige i, at middeltemperaturerne steg, da middeltemperaturen for januar i hele perioden 1874 til 2021 var 0,4 grader, mens middeltemperaturen for januar i perioden 1992 til 2021 var 1,6 grader. De sidste 30 år var middeltemperaturen altså markant højere end i hele perioden.

Vi så desuden i opgave 5.1, at middeltemperaturen i januar var over 4 grader 7 gange i perioden 1874 - 2021. Alle 7 gange var efter 1973, dvs. at middeltemperaturen ikke var over 4 grader de første 100 år (1874 - 1973), men var over 4 grader 7 gange i løbet af de sidste 48 år.

Kommentarer til løsningen

Du kan se den formel, vi har brugt, herunder:

Opgave 6 - En regneopskrift

6.1

Hvilket tal ender man med i trin E, hvis man vælger tallet 5 i trin A?

Facit

Hint

Følg regneopskriften med 5 som starttal. Skriv gerne tallene op ligesom i eksemplet i opgaven.

Løsning

Trin	Beregning
A	5
B	5 + 2 = 7
C	7 · 6 = 42
D	42 : 3 = 14
E	14 - 4 = 10

Man ender med tallet 10 i trin E.

Kommentarer til løsningen

Trin A: Vi starter med tallet 5.

Trin B: Vi lægger 2 til tallet fra trin A (dvs. 5):

5 + 2 = 7

Trin C: Vi ganger resultatet fra trin B (dvs. 7) med 6:

7 · 6 = 42

Trin D: Vi deler resultatet fra trin C (dvs. 42) med 3:

42 : 3 = 14

Trin E: Vi trækker 4 fra resultatet fra trin D (dvs. 14):

14 - 4 = 10

6.2

Hvilket tal skal man vælge i trin A, hvis man vil ende med tallet 2 i trin E?

Facit

Hint

Udfyld tabellen "baglæns", dvs. nedefra.

Trin E: Vi skal trække 4 fra tallet i trin D og få 2, så tallet i trin D må være 6. Fortsæt på samme måde med trin D, C, B og A.

Løsning

Vi udfylder tabellen nedefra:

Trin	Beregning
A	1
B	1 + 2 = 3
C	3 · 6 = 18
D	18 : 3 = 6
E	6 - 4 = 2

Man skal vælge tallet 1 i trin A.

Kommentarer til løsningen

Vi udfylder tabellen baglæns, dvs. nedefra:

Trin	Beregning	Forklaring
A	1	Starttallet er 1.
B	1 + 2 = 3	Vi skal lægge 2 til tallet fra trin A og få 3, så tallet fra trin A må være 1.
C	3 · 6 = 18	Vi skal gange tallet fra trin B med 6, og resultatet skal være 18, så tallet fra trin B må være 3.
D	18 : 3 = 6	Vi skal dele tallet fra trin C med 3, og resultatet skal være 6, så tallet fra trin C må være 18.
E	6 - 4 = 2	Vi skal trække 4 fra tallet fra trin D og få 2, så tallet fra trin D må være 6.

6.3

Du skal forklare, hvilke fejl Sofia har lavet.

Hint

Omskriv selv udtrykket. Start med at ophæve parentesen i brøkens tæller.

Løsning

I den første omskrivning har Sofia ophævet parentesen i brøkens tæller ved at gange 6 ind i parentesen. Sofia har ganget 2 med 6, men hun har glemt at gange n med 6.

I den anden omskrivning har Sofia forkortet brøken med 3, men hun har ikke delt hele udtrykket i tælleren med 3. Sofia har delt 12 med 3, men hun har ikke delt n med 3.

Der er ingen fejl i Sofias sidste omskrivning.

Kommentarer til løsningen

Her er den korrekte omskrivning:

$\begin{align*} \frac{(n+2) \cdot 6}{3} - 4 &= \frac{n \cdot 6 + 2 \cdot 6}{3} - 4 \\[1em] &= \frac{6n+12}{3} - 4 \\[1em] &= \frac{2n + 4}{1} - 4 \\[1em] &= 2n + 4 - 4 \\[1em] &= 2n \end{align}$

6.4

Skriv et udtryk, der svarer til den nye regneopskrift i tabellen, når m er det tal, man vælger i trin A.

Facit

$\frac{(m+3) \cdot 6 - 18}{2}$

Hint

Benyt regneopskriften til at udfylde en tabel som i opgaven. Benyt m som starttal.

Løsning

Vi opskriver et udtryk for hvert trin:

Trin	Udtryk
A: Vælg et tal.
B: Læg 3 til tallet i trin A.
C: Gang resultatet i trin B med 6.	$(m + 3) \cdot 6$
D: Træk 18 fra resultatet i trin C.	$(m + 3) \cdot 6 - 18$
E: Divider resultatet fra trin D med 2.	$\frac{(m+3) \cdot 6 - 18}{2}$

Når m er det tal, man vælger i trin A, så svarer følgende udtryk til den nye regneopskrift:

$\frac{(m+3) \cdot 6 - 18}{2}$

Kommentarer til løsningen

Trin	Udtryk	Forklaring
A: Vælg et tal.		Vi starter med tallet m.
B: Læg 3 til tallet i trin A.		Vi lægger 3 til tallet fra trin A (dvs. m).
C: Gang resultatet i trin B med 6.	$(m + 3) \cdot 6$	Vi ganger tallet fra trin B med 6. Tallet fra trin B er m + 3. Vi sætter parenteser omkring, da vi skal gange hele udtrykket med 6.
D: Træk 18 fra resultatet i trin C.	$(m + 3) \cdot 6 - 18$	Vi trækker 18 fra tallet i trin C (dvs. (m + 3) · 6).
E: Divider resultatet fra trin D med 2.	$\frac{(m+3) \cdot 6 - 18}{2}$	Vi deler resultatet fra trin D (dvs. (m + 3) · 6 - 18) med 2 .

Opgave 7 - Firkanter med arealet 4

7.1

Du skal tegne andre firkanter med alle 4 vinkelspidser i gitterpunkter og med et areal på 4. Du skal tegne

et kvadrat
et rektangel
et parallelogram
et trapez
en rombe.

Alle dine firkanter skal være forskellige. Skriv ved hver af dine tegninger, hvilken type firkant, det er. Du kan bruge svararket.

Hint

Et kvadrat er en firkant, hvor alle vinklerne er rette, og alle siderne er lige lange.

Et rektangel er en firkant, hvor alle vinklerne er rette.

Et parallelogram er en firkant, hvor de modstående sider er parallelle.

Et trapez er en firkant, hvor netop to af siderne er parallelle.

En rombe er en firkant, hvor alle siderne er lige lange.

Løsning

Bemærk: Der findes flere forskellige løsninger. Vores løsning er derfor blot et eksempel på en løsning.

Kommentarer til løsningen

Kvadrat

Arealet af kvadratet er 4, da kvadratet dækker fire tern i kvadratnettet.

Rektangel

Arealet af rektanglet er 4, da rektanglet dækker fire tern i kvadratnettet.

Parallelogram

Arealet af parallelogrammet er 4, da parallelogrammet dækker 3 tern og 2 halve tern i kvadratnettet.

Trapez

Arealet af trapezet er 4, da trapezet dækker 3 tern og 2 halve tern i kvadratnettet.

Rombe

Arealet af romben er 4, da romben kan opdeles i fire trekanter, der hver har arealet 1. Arealet af hver trekant er 1, da længden af grundlinjen er 1 og højden er 2:

$\begin{align*} T &= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 \\[1em] &= 1 \end{align}$