Med hjælpemidler

480 timer

Der er 24 timer på et døgn.

Der er 24 timer på et døgn. Vi beregner antal timer på 20 døgn:

20 · 24 = 480

Der er 480 timer på 20 døgn.

Det er vigtigt, at du ikke kun angiver et facit, men at du også opstiller et regneudtryk:

20 · 24

3600 sekunder

Der er 60 minutter på en time og 60 sekunder på et minut.

Der er 60 minutter på en time.

Der er 60 sekunder på et minut. Vi beregner antal sekunder på 60 minutter:

60 · 60 = 3600

Der er 3600 sekunder på 60 minutter, dvs. at der er 3600 sekunder på 1 time.

Der er 60 sekunder på 1 minut, så der er 60 · 60 sekunder på 60 minutter.

60n minutter

Der er 60 minutter på 1 time, 2 · 60 minutter på 2 timer, 3 · 60 minutter på 3 timer osv.

Der er 60 minutter på 1 time, så der er 60n minutter på n timer.

Der er 60 minutter på 1 time, 2 · 60 minutter på 2 timer, 3 · 60 minutter på 3 timer osv., så der er n · 60 minutter på n timer.

n · 60 kan også skrives 60 · n eller 60n.

I opg. 1.1 har vi beregnet, at der er 480 timer på 20 døgn.

I opg. 1.3 har vi fundet ud af, at der er 60n minutter på n timer.

Der er 480 timer på 20 døgn.

Vi beregner antal minutter på 480 timer:

60 · 480 = 28800

Der er 28800 minuter på 480 timer, dvs. på 20 døgn.

Vi antager, at en person trækker vejret 12 gange pr. minut i gennemsnit. Vi beregner antal vejrtrækninger på 28800 minutter:

12 · 28800 = 345600

En person trækker vejret ca. 345600 gange på 20 døgn.

Opgaven har ikke ét korrekt facit, da svaret afhænger af, hvor mange gange man antager, at en person trækker vejret pr. minut. Vores løsning er derfor blot et eksempel på en løsning.

I opg. 1.1 har vi beregnet, at der er 480 timer på 20 døgn. I opg. 1.3 har vi fundet ud af, at der er 60n minutter på n timer. Der er derfor 60 · 480 minutter på 480 timer.

Vi har antaget, at en person trækker vejret 12 gange pr. minut. Hvis du har antaget, at antallet af vejrtrækninger pr. minut er et andet tal ca. omkring 12, så kan det være lige så korrekt. Vi er nået frem til tallet 12 ved at tælle, at en vejrtrækning varer ca. 5 sekunder. Der er 60 sekunder på et minut, så antallet af vejrtrækninger pr. minut er 60 : 5, dvs. 12.

(eller 9/24)

Den brøkdel Annas fritid udgør af et typisk døgn er

Vi får oplyst, at Anna har 9 timers fritid på et typisk døgn, så Annas fritid udgør 9/24 af et typisk døgn. Vi forkorter brøken med 3:

Annas fritid udgør 3/8 af et typisk døgn.

Der er 24 timer på et døgn. På et typisk døgn har Anna 9 af de 24 timer til fritid, så den brøkdel Annas fritid udgør er 9/24.

Vi kan forkorte brøken med 3 ved at dele både tælleren og nævneren med 3:

Du kan fx lave et cirkeldiagram.

Vi tegner et cirkeldiagram:

Vi har lavet et cirkeldiagram, da et cirkeldiagram er godt til at vise, hvor stor en brøkdel af et døgn Anna bruger på forskellige aktiviteter. Hele cirklen udgør et typisk døgn.

Anna sover 8 timer, så hun er vågen 16 timer.

Anna sover 8 timer. Vi beregner, hvor længe hun er vågen:

24 - 8 = 16

Anna er vågen 16 timer. Hun er altså vågen dobbelt så længe, som hun sover.

For hver time Anna sover, så er hun vågen 2 timer, så forholdet mellem den tid, Anna sover, og den tid, hun er vågen, er 1:2.

Der er 24 timer i døgnet, og Anna sover 8 timer. Vi beregner, hvor længe hun er vågen:

24 - 8 = 16

Vi kan også beregne, hvor længe Anna er vågen, ved at lægge den tid hun bruger på skole og fritid sammen:

7 + 9 = 16

Forholdet mellem tid brugt på søvn og vågen tid er 1:3 for Annas mor og 1:2 for Anna. Forholdet mellem den tid, Annas far sover, og den tid, han er vågen, skal derfor ligge mellem 1:3 og 1:2.

Vi får oplyst, at forholdet mellem den tid, Annas mor sover, og den tid, hun er vågen, typisk er 1:3, dvs. at for hver time hun sover, er hun vågen 3 timer.

Vi får også oplyst, at Annas far sover lidt mere end Annas mor, men mindre end Anna.

Forholdet mellem den tid, Anna sover, og den tid, hun er vågen, er 1:2, så for hver time Anna sover, er hun vågen 2 timer.

Når Annas far sover lidt mere end Annas mor, men mindre end Anna, så kan forholdet mellem den tid, Annas far sover, og den tid, han er vågen, være 1:2,7.

Opgaven har ikke én korrekt løsning. Vores løsning er derfor blot et eksempel på en løsning.

Vi kan også løse opgaven ved at regne ud, hvor længe Annas mor sover. For hver time Annas mor sover, så er hun vågen 3 timer, hvilket svarer til, at hun sover 6 timer i døgnet og er vågen 18 timer.

Annas far sover lidt mere end Annas mor, men mindre end Anna, så Annas far sover mere end 6 timer, men mindre end 8 timer. Hvis vi fx antager, at han typisk sover 6,5 timer pr. døgn, så er han vågen 17,5 timer. Forholdet mellem den tid, Annas far sover, og den tid, han er vågen, kan derfor være 6,5:17,5, hvilket ca. svarer til 1:2,7.

Lyset er 20 minutter om at brænde 1 tomme, så lyset er 20x minutter om at brænde x tommer.

Vi får oplyst, at et vokslys brænder 1 tomme på 20 minutter. Vi opstiller en tabel, der viser sammenhængen mellem antal tommer og antal minutter:

Lyset er 20 minutter om at brænde 1 tomme, så lyset er 20x minutter om at brænde x tommer. Vi kan derfor beskrive sammenhængen mellem antal tommer, x, og antal minutter, f(x), med funktionen

f(x) = 20x

Vi beskriver sammenhængen med en graf ved at tegne grafen for f:

Hold musen over tallene med en blå stiplet linje under for at se, hvordan vi har udfyldt tabellen:

Lyset er 20 minutter om at brænde 1 tomme, 2 · 20 minuter om at brænde 2 tommer, 3 · 20 minutter om at brænde 3 tommer osv., så lyset er x · 20 minutter om at brænde x tommer. x · 20 kan også skrives 20 · x eller 20x.

44°

Vinkelsummen i en trekant er 180°:

Vinkelsummen i en trekant er 180°. Vi bestemmer v, hvis u = 46°:

Vinkel v er 44°.

Da trekanten er retvinklet, så er den ene vinkel 90°. De andre to vinkler er u og v. Vinkelsummen i en trekant er 180°, så

v + u + 90° = 180°

Vi trækker 90° og u fra på begge sider:

v = 180° - 90° - u

9,00 cm

I en retvinklet trekant er

Vi beregner skyggens længde, hvis vinkel v er 42°:

10 · tan⁡(42°) ≈ 9,00

Hvis vinkel v er 42°, så er skyggens længde 9,00 cm.

Længden af den modstående katete til vinkel v er længden af skyggen. Længden af den hosliggende katete er solurets højde, så

Dermed er

skyggens længde = solurets højde · tan(v)

Soluret er 10 cm højt, og vinkel v er 42°, så

skyggens længde = 10 · tan(42°)

I en retvinklet trekant er

Da trekanten er retvinklet, så er

Vi ganger med skyggens længde på begge sider:

Vi deler med tan(u) på begge sider:

Når man kender vinkel u, så kan man bruge ovenstående formel til at beregne skyggens længde.

Længden af den modstående katete til vinkel u er solurets højde, dvs. 10 cm. Længden af den hosliggende katete er skyggens længde, så

Skyggens længde ændrer sig ikke lige meget fra time til time.

Brug formlen fra opg. 5.3.

Vi beregner skyggens længde ved forskellige værdier af u:

Vi kan se, at skyggens længde ikke ændrer sig lige meget, når vinkel u bliver ca. 10° større.

Vi bruger formlen fra opg. 5.3 til at beregne skyggens længde for forskellige værdier af u. Vi vælger værdierne af u, så hvert værdi er 10° større end den foregående:

Vi kan se, at hvis vinkel u vokser fra 20° til 30°, så bliver skyggen ca. 10,2 cm kortere. Hvis vinkel u vokser fra 70° til 80°, så bliver skyggen ca. 1,9 cm kortere.

Formlerne kan ses herunder:

3,6

Et rektangel med sidelængderne a og b har omkredsen

O = a + b + a + b

Vi bestemmer det blå rektangels omkreds, hvis a = 0,6 og b = 1,2:

0,6 + 1,2 + 0,6 + 1,2 = 3,6

Omkredsen af det blå rektangel er 3,6.

Et rektangel med sidelængderne a og b har omkredsen

O = a + b + a + b

Vi indsætter a = 0,6 og b = 1,2 i formlen:

O = 0,6 + 1,2 + 0,6 + 1,2

Formel a), c) og d) kan bruges.

Omskriv formlen

O = a + b + a + b

Omkredsen af det blå rektangel er

O = a + b + a + b

Hvis vi bytter om på rækkefølgen, så får vi formel c):

O = a + a + b + b

Da a + a = 2 · a og b + b = 2 · b, så kan vi omskrive formlen til formel a):

O = 2 · a + 2 · b

Da a + b + a + b er a + b to gange, så kan vi omskrive formlen til formel d):

O = 2 · (a + b)

Formel a), c) og d) kan bruges til at beregne omkredsen af det blå rektangel.

Formel b) kan ikke bruges, da a · b er arealet af det blå rektangel, så formel b) giver 2 gange arealet af det blå rektangel.

Vi beregner omkredsen af et rektangel ved at lægge længderne af alle siderne sammen. Omkredsen af det blå rektangel er derfor

O = a + b + a + b

Da (a + b) + (a + b) = 2 · (a + b), så kan formlen omskrives til formel d):

O = 2 · (a + b)

Arealet af det blå rektangel kan beregnes ved

A = a · b

Vi omskriver formel c):

a · b + a · b = A + A

Formel c) kan bruges til at beregne det dobbelte af det blå rektangels areal.

c = 12

Du kan prøve dig frem med forskellige værdier ved at lave en tabel som den herunder:

Vi beregner længderne af siderne for forskellige værdier af c:

Det røde rektangels længste side er dobbelt så stor som den korteste side, hvis værdien af c er 12.

Når c = 12, så er længden af den længste side (12) det dobbelt af længden af den korteste side (6).

Formlerne kan ses herunder:

6 < c < 9

Du kan prøve dig frem med forskellige værdier ved at lave en tabel som den herunder:

Vi beregner omkredsen af det røde rektangel for forskellige værdier af c:

Det røde rektangels omkreds er mindre end 24, hvis værdien af c er mellem 6 og 9, dvs. 6 < c < 9.

Længden af den korteste side (c - 6) skal være større end 0, så længden af den længste side (c) skal være større end 6.

Vi kan se, at hvis den længste side har længden 9, så bliver omkredsen 24, så længden af den længste side (c) skal være mindre end 9.

Formlerne kan ses herunder:

Et kvadrat er en firkant, hvor alle vinklerne er rette, og alle siderne er lige lange.

Et rektangel er en firkant, hvor alle vinklerne er rette.

Et parallelogram er en firkant, hvor de modstående sider er parallelle.

Et trapez er en firkant, hvor netop to af siderne er parallelle.

Vi har fundet 6 andre firkanter:

Kvadrat

Arealet af kvadratet er 2, da kvadratet dækker fire halve tern i kvadratnettet.

Rektangel

Arealet af rektanglet er 2, da rektanglet dækker to tern i kvadratnettet.

Parallelogram

Arealet af hvert parallelogram er 2, da hvert parallelogram dækker ét helt tern og to halve tern i kvadratnettet.

Trapez

Arealet af hvert trapez er 2, da hvert trapez dækker ét helt tern i kvadratnettet og en trekant med et areal på 1. Arealerne af trekanterne er 1, da grundlinjen har længden 2 og højden er 1: