Med hjælpemidler

Her finder du facit og vores løsninger til opgaverne i prøven med hjælpemidler fra Matematik FP9 3. december 2019.

Indhold

Opgave 1 - Livas biografbilletter
Opgave 2 - Karls korthuse
Opgave 3 - Livas juletræstæppe
Opgave 4 - Karls og Livas mobiltelefoner
Opgave 5 - Unges mobiltelefoner
Opgave 6 - Karls skrabekalender
Opgave 7 - En sekskant
Opgave 8 - Rektangler

Opgave 1 - Livas biografbilletter

1.1

Hvor mange penge har Liva i alt betalt for de 4 billetter?

Facit

358 kr.

Hint

Gang prisen pr. billet (89,50 kr.) med antallet af billetter (4).

Løsning

Vi får oplyst, at Liva har købt 4 billetter til 89,50 kr. pr. stk. Vi beregner, hvor mange penge hun har betalt for alle 4 billetter:

4 · 89,50 = 358

Liva har betalt 358 kr.

Kommentarer til løsningen

Det er vigtigt, at du ikke kun angiver facit, men at du også opstiller et regneudtryk:

4 · 89,50

1.2

Du skal vise med beregning, at Liva skal betale ca. 58 kr. for en billet, hvis hun melder sig ind i filmklubben.

Hint

Hvis Liva får 35% i rabat på billetter, så skal hun betale 65% af normalprisen.

Løsning

Liva får 35% i rabat på billetter, hvis hun melder sig ind i filmklubben, dvs. at hun skal betale 65% af normalprisen. Vi beregner 65% af 89,50 kr.:

0,65 · 89,50 ≈ 58,175

Liva skal betale ca. 58 kr. for en billet, hvis hun melder sig ind i filmklubben.

Kommentarer til løsningen

Vi får oplyst, at Liva får 35% i rabat på billetter, hvis hun melder sig ind i filmklubben. Vi beregner, hvor stor en andel af normalprisen, hun skal betale:

100% - 35% = 65%

Liva skal betale 65% af normalprisen. Da 65% = 0,65, så kan vi bestemme 65% af normalprisen ved at gange normalprisen (89,50 kr.) med 0,65.

1.3

Hvor mange billetter skal Liva købe om året, hvis det skal betale sig for hende at være medlem af filmklubben?

Facit

Mindst 7.

Hint

Du kan fx lave en tabel, der viser prisen for forskellige antal billetter uden og med filmklub.

Løsning

Vi beregner, hvad Liva skal betale for 1 - 7 billetter uden og med filmklub:

Liva skal købe 7 billetter eller flere.

Kommentarer til løsningen

Vi beregner prisen uden filmklub ved at gange antallet af billetter med prisen pr. billet (89,50 kr.).

Vi beregner prisen med filmklub ved at gange antallet af billetter med prisen pr. billet (89,50 kr.) og 0,65, da vi fandt ud af i opg. 1.2, at Liva skal betale 65% af normalprisen, hvis hun melder sig ind i filmklubben. Desuden lægger vi prisen for filmklubben (199 kr.) til.

Du kan se vores beregninger herunder:

1.4

Hvor mange procent skulle filmklubben give i rabat på billetter, hvis det skulle betale sig for Liva at være medlem?

Facit

55,6%

Hint

Beregn først, hvad de fire billetter må koste med rabat, hvis Liva skal betale 199 kr. for at være med i filmklubben, og hun maks. skal betale de 358 kr., som er normalprisen for billetterne.

Løsning

Hvis det skal kunne betale sig for Liva at være medlem af filmklubben, så skal fire billetter koste maks. 358 kr.

Prisen for filmklubben er 199 kr. Vi beregner, hvad de fire billetter må koste:

358 - 199 = 159

De fire billetter må maks. koste 159 kr.

Vi beregner prisen pr. billet:

159 : 4 = 39,75

Billetprisen må maks. være 39,75 kr.

Vi beregner, hvor meget 39,75 kr. udgør af normalprisen på 89,50 kr.:

39,75 : 89,50 ≈ 0,4441341

Liva skal maks. betale 44,4% af normalprisen, dvs. at filmklubben skulle give mindst 55,6% i rabat på billetter, hvis det skulle betale sig for Liva at være medlem.

Kommentarer til løsningen

Vi beregnede i opg. 1.1, at Liva skal betale 358 kr. for fire billetter, når hun ikke er medlem af filmklubben. Hvis det skal kunne betale sig for Liva at være med i filmklubben, så skal hun maks. betale 358 kr. for medlemsskabet af filmklubben og fire billetter med rabat.

Liva skal betale 199 kr. for at være medlem af filmklubben. Vi beregner derfor, hvad Liva maks. skal betale for selve billetterne ved at trække 199 kr. fra de 358 kr. Liva skal maks. betale 159 kr. for de fire billetter, dvs. at Liva maks. skal betale 39,75 kr. pr. billet.

Vi beregner, at 39,75 kr. udgør ca. 44,4% af normalprisen på 89,50 kr. Vi beregner Livas rabat ved at trække 44,4% fra 100%:

100% - 44,4% = 55,6%

Liva skal have mindst 55,6% i rabat, hvis hun skal betale maks. 358 kr. for medlemsskabet og fire billetter, dvs. hvis det skal kunne betale sig for hende at være medlem af filmklubben.

Opgave 2 - Karls korthuse

2.1

Hvor mange kort skal han bruge til at bygge et korthus med 4 etager?

Facit

26 kort

Hint

Tegn evt. et korthus med 4 etager.

Løsning

Den nederste etage i et korthus med 4 etager består af otte kort, der står skrå og tre kort, der ligger på tværs, så den nederste etage består i alt af 11 kort. De øverste 3 etager er ligesom et korthus med 3 etager, så de øverste 3 etager består af 15 kort.

11 + 15 = 26

Der skal bruges 26 kort til et korthus med 4 etager.

Kommentarer til løsningen

Vi tæller, at den nederste etage består af 11 kort.

Vi kan se, at de øverste 3 etager er ligesom et korthus med 3 etager:

Vi får oplyst, at et korthus med 3 etager består af 15 kort.

Et korthus med 4 etager består derfor af 11 + 15 kort.

2.2

Hvor mange kort rører bordet i et korthus med n etager?

Facit

Hint

Undersøg, hvor mange kort, der rører bordet, i et korthus med hhv. 1, 2, 3 og 4 etager.

Løsning

Vi kan se, at der er dobbelt så mange kort, der rører bordet, som der er etager i et korthus, så i et korthus med n etager er der 2n kort, der rører bordet.

Kommentarer til løsningen

Vi undersøger, hvor mange kort, der rører bordet, i et korthus med hhv. 1, 2, 3 og 4 etager:

Antal etager	Antal kort, der rører bordet
1	2 (= 2 · 1)
2	4 (= 2 · 2)
3	6 (= 2 · 3)
4	8 (= 2 · 4)
n	2n (= 2 · n)

Der er dobbelt så mange kort, der rører bordet, i et korthus, som der er etager i korthuset.

2.3

Hvor mange etager kan der blive i korthuset, hvis han har 200 kort?

Facit

11 etager

Hint

Sæt 200 ind i ligningen

$\frac{n \cdot (3n + 1)}{2} = \text{Antal kort i et korthus med } n \text{ etager}$

Løsning

Vi beregner, hvor stort et korthus Karl kan lave, hvis han har 200 kort:

$\frac{n \cdot (3n + 1)}{2} = 200 \quad \rightarrow \quad n = -11,71 \quad \vee \quad n = 11,38$

Der kan blive 11 etager i korthuset.

Kommentarer til løsningen

Vi får oplyst, at antallet af kort i et korthus med n etager er givet ved

$\frac{n \cdot (3n + 1)}{2}$

Vi beregner derfor, hvor mange etager der kan være i Karls korthus, hvis han har 200 kort, ved at løse ligningen

$\frac{n \cdot (3n + 1)}{2} = 200$

Du kan løse ligningen i et CAS-værktøj, som fx GeoGebra™. Løs ligningen i GeoGebra ved at skrive Løsninger((n(3n+1))/2=200,n) i CAS-vinduet og trykke på "≈".

Alternativt kan du bestemme, hvor mange etager Karl kan lave, ved at beregne antallet af kort i et korthus med fx 8 - 12 etager:

Antal etager	Antal kort
8	$\frac{8 \cdot (3 \cdot 8 + 1)}{2} = 100$
9	$\frac{9 \cdot (3 \cdot 9 + 1)}{2} = 126$
10	$\frac{10 \cdot (3 \cdot 10 + 1)}{2} = 155$
11	$\frac{11 \cdot (3 \cdot 11 + 1)}{2} = 187$
12	$\frac{12 \cdot (3 \cdot 12 + 1)}{2} = 222$

Der skal bruges 187 kort til et korthus med 11 etager og 222 kort til et korthus med 12 etager, så Karl kan lave et korthus med 11 etager, hvis han har 200 kort.

Opgave 3 - Livas juletræstæppe

3.1

Undersøg, hvor få centimeter filt Liva kan nøjes med at købe. Du skal bruge en tegning til at begrunde dit svar.

Facit

96,6 cm

Hint

To af de stykker, som Liva skal klippe ud, kan lægges op ad hinanden. Undersøg, hvor stort et rektangulært stykke, der skal til, for at Liva kan klippe to stykker.

Løsning

Vi laver en tegning af to af de stykker, som Liva skal klippe ud:

To af stykkerne kan klippes ud af et rektangulært stykke filt med længden 68,3 cm og bredden 28,3 cm.

Fire af de rektangulære stykker filt kan placeres således på rullen med filt:

Vi beregner, hvor meget filt Liva skal bruge:

68,3 + 28,3 = 96,6

Liva kan nøjes med at købe 96,6 cm filt.

Kommentarer til løsningen

Vi lægger to af de stykker, som Liva skal klippe ud, op ad hinanden:

De to stykker kan klippes ud af et rektangulært stykke stof. Vi beregner længden og bredden af det rektangulære stykke:

20,0 + 40,0 + 8,3 = 68,3

20,0 + 8,3 = 28,3

Længden er 68,3 cm, og bredden er 28,3 cm.

Da det rektangulære stykke er 28,3 cm bredt, så kan der ligge tre rektangulære stykker ved siden af hinanden på filtrullen, som er 90 cm bred. Det sidste stykke placeres efter de andre:

Alternativt kan Liva placere stykkerne som på figuren herunder:

Hvis Liva placerer stykkerne som på figuren herover, så skal Liva bruge 113,2 cm filt. Denne løsning er også korrekt.

Opgave 4 - Karls og Livas mobiltelefoner

4.1

Du skal vise med beregning, at Karl i alt har brugt sin mobiltelefon i 15 timer og 52 minutter i løbet af den uge.

Hint

Omregn først 16 minutter til timer.

Beregn derefter, hvor mange timer Karl har brugt sin telefon i løbet af ugen ved at gange antallet af timer pr. dag med 7.

Løsning

Vi omregner 16 minutter til timer:

16 : 60 ≈ 0,267

Vi beregner, hvor mange timer Karl har brugt sin telefon i løbet af ugen:

2,267 · 7 = 15,869

Vi omregner 0,869 timer til minutter:

0,869 · 60 = 52,14

Karl har brugt sin telefon 15 timer og 52 minutter i alt i løbet af ugen.

Kommentarer til løsningen

Vi får oplyst, at Karl har brugt sin telefon 2 timer og 16 minutter om dagen i gennemsnit. Vi beregner, at 2 timer og 16 minutter er 2,267 timer.

Der er 7 dage på en uge, så vi beregner, hvor mange timer Karl har brugt sin telefon i alt i løbet af ugen ved at gange 2,267 timer med 7. Vi får resultatet 15,869 timer.

Vi beregner, at 0,869 timer er ca. 52 minutter. Karl har derfor brugt sin telefon 15 timer og 52 minutter i alt i løbet af ugen.

4.2

Hvor stor en procentdel af sin vågne tid har Karl brugt sin mobiltelefon i den uge?

Facit

Ca. 14%

Hint

Beregn, hvor stor en andel a udgør af b på følgende måde:

$\frac{a}{b}$

Omregn resultatet til procent ved at gange med 100.

Løsning

Vi beregner, hvor mange timer Karl er vågen i løbet af et døgn:

24 - 8 = 16

Karl er vågen ca. 16 timer i løbet af et døgn.

Vi beregner, hvor stor en del af Karls vågne tid, han har brugt sin telefon:

2,267 : 16 = 0,142

Karl har brugt sin telefon ca. 14% af sin vågne tid.

Kommentarer til løsningen

Vi får oplyst, at Karl sover ca. 8 timer i døgnet. Han er derfor vågen ca. 16 timer i døgnet.

Vi beregnede i 4.1, at Karl brugte sin telefon 2,267 timer i døgnet i gennemsnit.

Vi beregner, hvor stor en del af sin vågne tid, Karl har brugt sin telefon, ved at dele 2,267 timer med 16 timer:

$\begin{align*} \frac{2,267}{16} &= 0,142 \\[1em] &= 14,2% \end{align}$

Vi omregner fra et decimaltal til en brøk ved at gange med 100, dvs. ved at rykke kommaet to pladser mod højre.

4.3

Giv et eksempel på, hvor lang tid Liva kan have sovet, og hvor lang tid hun kan have brugt sin mobiltelefon på det døgn.

Hint

Vælg, hvor længe Liva kan have sovet. Beregn derefter, hvor længe Liva i så fald var vågen.

Beregn til sidst, hvor lang tid Liva brugte med sin telefon ved at bestemme 5% af antallet af vågne timer.

Løsning

Vi beregner, hvor lang tid Liva var vågen, hvis hun sov 9 timer:

24 - 9 = 15

Vi beregner, hvor mange timer Liva brugte sin telefon:

15 · 0,05 = 0,75

Hvis Liva sov 9 timer, så brugte hun sin telefon 0,75 timer.

Kommentarer til løsningen

Vi vælger, at Liva sov 9 timer. Hun var i så fald vågen i 15 timer.

Vi får oplyst, at Liva brugte sin telefon 5% af sin vågne tid. Vi beregner derfor 5% af 15 timer. Vi beregner 5% af 15 ved at omregne 5% til 0,05:

15 · 0,05 = 0,75

5% af 15 timer er 0,75 timer, så Liva brugte sin telefon 0,75 timer.

Du kan evt. vælge at omregne tiden, som Liva brugte på sin telefon, til minutter. 0,75 timer er 45 minutter.

Opgave 5 - Unges mobiltelefoner

5.1

Hvor mange elever er der data fra?

Facit

Hint

Beregn, hvor mange datapunkter (tal), der er i tabellen.

Løsning

Tabellen består af 9 kolonner og 10 rækker. Vi beregner antallet af datapunkter:

9 · 10 = 90

Der er 90 datapunkter, så der er data fra 90 elever.

Kommentarer til løsningen

Hvert datapunkt (tal) repræsenterer én elev.

5.2

Beregn, om eleverne i 9. klasse på Karls skole ligger over eller under gennemsnittet.

Facit

Over gennemsnittet.

Hint

Beregn, hvor mange minutter om dagen eleverne på Karls skole i gennemsnit bruger deres telefon ved at beregne gennemsnittet af tallene i tabellen.

Løsning

Vi beregner gennemsnittet af tallene i tabellen:

Eleverne på Karls skole bruger deres mobil 180 minutter om dagen i gennemsnit, så de ligger over gennemsnittet for danske unge.

Kommentarer til løsningen

Du kan se vores beregning her:

Eleverne på Karls skole bruger i gennemsnit deres telefon 180 minutter om dagen.

Vi får oplyst, at danske unge i gennemsnit bruger deres telefon 131 minutter om dagen. Eleverne på Karls skole ligger derfor over gennemsnittet for danske unge.

5.3

Undersøg, hvilke forskelle og ligheder der er mellem fordelingen af data fra 9. klasserne og fordelingen af data fra 8. klasserne.

Hint

Sammenlign medianen og variationsbredden for de to datasæt.

Løsning

Vi beregner minimum, median og maksimum for eleverne i 9. klasse:

Vi beregner variationsbredden for eleverne i hhv. 8. og 9. klasse:

8. klasse:	200 - 120 = 80
9. klasse:	330 - 60 = 270

50% af eleverne i både 8. og 9. klasse bruger deres telefon mindst 165 minutter om dagen.

I 8. klasse bruger eleverne deres telefon mellem 120 minutter og 200 minutter, dvs. at variationsbredden er 80 minutter.

I 9. klasse bruger eleverne deres telefon mellem 60 minutter og 330 minutter, dvs. at variationsbredden er 270 minutter.

Der er større forskel på, hvor lang tid eleverne bruger deres telefon i 9. klasse end i 8. klasse.

Kommentarer til løsningen

Du kan se vores beregninger her:

Vi beregner variationsbredden ved at trække minimum fra maksimum:

variationsbredde = maksimum - minimum

Medianen er det antal minutter, som 50% af eleverne mindst bruger deres telefon.

Opgave 6 - Karls skrabekalender

6.1

Hvor stor er sandsynligheden for, at Karl vinder 1 million kr.?

Facit

0,0001984%

Hint

Sandsynligheden for en hændelse, H, kan beregnes med formlen

$P(H) = \frac{\text{antal gunstige udfald}}{\text{antal mulige udfald}}$

Løsning

Vi beregner sandsynligheden for, at Karl vinder 1 million kroner:

5 : 2520000,0 ≈ 0,000001984

Der er 0,0001984% sandsynlighed for, at Karl vinder 1 million kroner.

Kommentarer til løsningen

Vi skal beregne sandsynligheden for, at Karl vinder 1 million kroner, dvs. sandsynligheden for, at Karl har en julekalender med 10 julemænd:

$P(\text{Karl vinder 1 million kr.}) = \frac{\text{antal skrabekalendere med 10 julem\ae nd}}{\text{antal skrabekalendere i alt}}$

Vi får oplyst, at der er 5 skrabekalendere med 10 julemænd og 2.520.000 skrabekalendere i alt, så

$\begin{align*} P(\text{Karl vinder 1 million kr.}) &= \frac{5}{2520000} \\[1em] &= 0,000001984 \\[1em] &= 0,0001984% \end{align}$

Vi omregner fra decimaltal til procent ved at gange med 100, dvs. ved at rykke kommaet to pladser mod højre.

6.2

Forklar, hvorfor Karl ikke har ret i sin påstand.

Hint

Forklar, hvorfor Karl kan få tre skrabekalendere uden gevinst.

Løsning

At der er gevinst på hver 3. skrabekalender i gennemsnit, betyder, at der er gevinst på 1/3 af skrabekalenderne. Der er altså ikke gevinst på 2/3 af skrabekalenderne:

$2520000 \cdot \frac{2}{3} = 1680000$

Der er 1,68 mio. skrabekalendere uden gevinst.

Hvis Karl er uheldig og køber 3 af de kalendere, der ikke er gevinst på, så får han ikke nogen gevinst, selv om han har købt 3 kalendere.

Kommentarer til løsningen

Karl køber tre tilfældige skrabekalendere, så han kan være uheldig at få tre af de 1,68 mio. skrabekalendere, hvor der ikke er gevinst, og derfor har Karl ikke ret i sin påstand.

6.3

Har Liva ret i sin påstand?

Facit

Nej, Liva har ikke ret.

Hint

Beregn sandsynligheden for at slå 5 seksere i træk. Undersøg, om de to sandsynligheder er ca. lige store.

Løsning

Vi beregner sandsynligheden for at slå 5 seksere i træk med en almindelig 6-sidet terning:

$\left ( \frac{1}{6} \right ) ^5 \approx 0,0001286$

Sandsynligheden for at slå 5 seksere i træk er 0,0001286.

Vi får oplyst, at sandsynligheden for at vinde 50.000 kr. er ca. 0,000018.

Vi bestemmer, hvor meget større sandsynligheden er for at slå 5 seksere i træk end for at vinde 50.000 kr.:

$\frac{0,0001286}{0,000018} \approx 7,144444$

Sandsynligheden for at slå 5 seksere i træk er mere end 7 gange større end sandsynligheden for at vinde 50.000 kr., så Liva har ikke ret.

Kommentarer til løsningen

Sandsynligheden for at slå en sekser med en almindelig 6-sidet terning er $\tfrac{1}{6}.$

Sandsynligheden for at slå 5 seksere i træk er dermed

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$

Ovenstående udtryk kan omskrives:

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \left ( \frac{1}{6} \right )^5$

Opgave 7 - En sekskant

7.1

Hvor stor er sekskantens omkreds, hvis a er 4,5, og b er 3,5?

Facit

Hint

Beregn omkredsen af sekskanten ved at lægge længderne af alle siderne sammen.

Løsning

Vi beregner sekskantens omkreds:

b + b + a + b + a + b + a + a = 4a + 4b

Vi beregner omkredsen, hvis a = 4,5 og b = 3,5:

4 · 4,5 + 4 · 3,5 = 32

Omkredsen er 32.

Kommentarer til løsningen

Sekskanten har seks sider med længderne b + b, a, b, a, b og a + a.

7.2

Du skal vise, at Karl har ret i sin påstand.

Hint

Omskriv 2a · 2b - ab til 3ab.

Løsning

Vi omskriver 2a · 2b - ab:

2a · 2b - ab	=	4ab - ab

	=	3ab

Da 2a · 2b - ab kan omskrives til 3ab, så er de to udtryk ens, dvs. at Karl har ret.

Kommentarer til løsningen

Vi får oplyst, at arealet af sekskanten er 3 · a · b. Vi omskriver 2a · 2b - ab til 3 · a · b. Da de to udtryk er ens, så kan arealet også beregnes med udtrykket 2a · 2b - ab.

Alternativt kan du forklare Karls udtryk ved at se på figuren:

Hvis vi tilføjer et ekstra rektangel med længden b og bredden a til figuren, så får vi et stort rektangel med længden 2b og bredden 2a.

Arealet af sekskanten er arealet af det store rektangel minus arealet af det lille rektangel, som vi har tilføjet.

Arealet af det store rektangel er 2a · 2b.

Arealet af det lille rektangel er a · b.

Arealet af sekskanten er dermed

2a · 2b - ab

7.3

Undersøg, hvor stort arealet af sekskanten højst kan være, hvis sekskantens omkreds er 40.

Facit

Hint

Bestem arealet af sekskanten for forskellige sidelængder. Husk, at omkredsen skal være 40.

Løsning

Vi bestemmer arealet af sekskanten ved forskellige sidelængder:

Arealet kan højst være 75.

Kommentarer til løsningen

Vi beregnede i opg. 7.1, at omkredsen af sekskanten er 4a + 4b.

Omkredsen skal være 40, så

4a + 4b = 40

Vi deler med 4 på begge sider af lighedstegnet og får:

a + b = 10

Omkredsen er 40, når summen af a og b er 10. Hvis vi vælger en værdi for a, så kan vi altså beregne b således:

b = 10 - a

Vi vælger forskellige længder af siden a, beregner længden af siden b og beregner arealet. Du kan se vores beregninger her:

Opgave 8 - Rektangler

8.1

Undersøg, hvor mange forskellige rektangler der opfylder de 3 betingelser. Tegn så mange forskellige løsninger, du kan. Brug evt. et digitalt værktøj eller svararket.

Facit

28 (inkl. rektanglet vist i opgaven)

Hint

Vi kan både tegne rektangler, hvor siderne ligger på gitteret, og rektangler, hvor siderne ikke ligger på gitteret. Her er to eksempler:

Løsning

Der er 28 mulige rektangler inkl. rektanglet vist i opgaven:

Kommentarer til løsningen

Vi har tegnet fire rektangler i hvert koordinatsystem og nummereret rektanglerne fra 1 - 28.

Rektangel 1 - 8

Rektangel 1 - 8 har længden 8 og bredden 1. Arealet er derfor:

8 · 1 = 8

Rektangel 9 - 16

Rektangel 9 - 16 har længden 4 og bredden 2. Arealet er derfor:

4 · 2 = 8

Rektangel 17 - 24

Vi kan benytte Pythagoras' sætning til at bestemme længden, d, af diagonalen i et kvadrat med sidelængden 1:

$\begin{align*} &&d^2 &= 1^2 + 1^2 \\ \Downarrow &&& \\ && d^2 &= 2 \\ \Downarrow &&& \\ && d &= \sqrt{2} \\ \end{align}$

Diagonalen har længden $\sqrt{2}$ , så rektangel 17 - 24 har bredden $\sqrt{2}$ . Rektanglerne er 4 gange så lange, som de er bredde, så længden er $4 \cdot \sqrt{2}$ . Arealet er derfor:

$\begin{align*}4 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} &= 4 \cdot \left ( \sqrt{2} \right )^2 \\[1em] &= 4 \cdot 2 \\[1em] &= 8 \end{align}$

Rektangel 25 - 28

I ovenstående afsnit beregnede vi, at diagonalen i et kvadrat har længden $\sqrt{2}$ .

Rektangel 25 - 28 er kvadrater med sidelængden $2 \cdot \sqrt{2}$ . Arealet er derfor:

$\begin{align*} \left ( 2 \cdot \sqrt{2} \right )^2 &= 2^2 \cdot \left ( \sqrt{2} \right )^2 \\[1em] &= 4 \cdot 2 \\[1em] &= 8 \end{align}$