Med hjælpemidler

Her finder du facit og vores løsninger til opgaverne i prøven med hjælpemidler fra Matematik FP9 3. maj 2023.

Indhold

Opgave 1 - I praktik i en butik
Opgave 2 - I praktik som smed
Opgave 3 - I praktik på en avis
Opgave 4 - I praktik som bager
Opgave 5 - I praktik som tømrer
Opgave 6 - En figurfølge
Opgave 7 - Trekanter i en cirkel

Opgave 1 - I praktik i en butik

1.1

Hvor meget er en bakke blåbær blevet dyrere?

Facit

3,55 kr.

Hint

Træk før-prisen fra nu-prisen.

Løsning

Vi beregner, hvor meget en bakke blåbær er blevet dyrere:

42,50 - 38,95 = 3,55

En bakke blåbær er blevet 3,55 kr. dyrere.

Kommentarer til løsningen

Vi får oplyst, at før-prisen er 38,95 kr., og at nu-prisen er 42,50 kr. Vi bestemmer prisforskellen ved at trække før-prisen fra nu-prisen.

Det er vigtigt, at du ikke kun angiver et facit, men at du også opstiller et regneudtryk:

42,50 - 38,95

1.2

Hvad koster blåbær pr. kilogram med den nye pris?

Facit

170 kr.

Hint

Du kan beregne kiloprisen således:

$\frac{\text{\text{pris pr. bakke (i kr.)}}}{\text{m\ae ngde pr. bakke (i kg)}}$

Løsning

Vi får oplyst, at bakken med blåbær vejer 250 g, dvs. 0,25 kg. Vi beregner kiloprisen:

42,50 : 0,25 = 170

Med den nye pris koster blåbær 170 kr. pr. kilogram.

Kommentarer til løsningen

1 kg er 1000 g, så vi omregner fra gram til kilogram ved at dele med 1000. Vi deler med 1000 ved at rykke kommaet tre pladser mod venstre:

250,0 : 1000 = 0,2500

1.3

Du skal vise med beregning, at en melon er blevet ca. 9 % dyrere.

Hint

Du kan beregne x% af et tal ved at gange tallet med x% omregnet til et decimaltal. Du kan omregne x% til et decimaltal ved at dele x med 100.

Løsning

Vi beregner 9% af før-prisen på melon:

22 · 0,09 = 1,98

Vi beregner derefter prisen på melon, hvis den var steget med 9%:

22 + 1,98 = 23,98

Hvis prisen på melon var steget med 9%, så ville prisen være 23,98 kr. Nu-prisen på melon er 24 kr., så prisen på melon er steget ca. 9%.

Kommentarer til løsningen

Vi beregner 9% af et tal ved at gange tallet med 9% omregnet til et decimaltal. Vi omregner 9% til et decimaltal ved at dele 9 med 100:

9 : 100 = 0,09

Vi beregner prisen, der er 9% højere end 22 kr. ved at lægge 9% af 22 kr. til 22 kr.

23,98 kr. er næsten det samme som 24 kr., så prisen på melon er steget ca. 9%.

1.4

Hvordan kan Agnes beregne den nye pris på en vare, der før kostede x kr.?

Hint

Benyt samme fremgangsmåde som i opg. 1.3. Før-prisen er nu x kr. i stedet for 22 kr.

Løsning

Vi kan beregne den nye pris på en vare, der før kostede x kr. ved at beregne 9% af x kr. og lægge resultatet til x kr.

9% af x er 0,09 · x.

Hvis en vare kostede x kr. før, så koster den altså x + 0,09x kr. nu.

Vi ved, at

x + 0,09x = 1,09x

Den nye pris på varen er 1,09x kr., så Agnes kan beregne den nye pris på en vare, der før kostede x kr., ved at gange før-prisen med 1,09.

Kommentarer til løsningen

Vi benytter samme fremgangsmåde som i opg. 1.3: Vi beregner 9% af x og lægger resultatet til x.

Udtrykket x + 0,09x er det samme som 1 · x + 0,09 · x. Vi ved, at fx er 2x + 3x= 5x. På samme måde er

1 · x + 0,09 · x = 1,09x

Opgave 2 - I praktik som smed

2.1

Hvor stort er arealet af rektanglet?

Facit

1695 cm²

Hint

Arealet af et rektangel med længden l og bredden b er givet ved

A = l · b

Løsning

Vi beregner arealet af rektanglet:

30,0 · 56,5 = 1695

Arealet af rektanglet er 1695 cm².

Kommentarer til løsningen

Vi aflæser på tegningen, at rektanglet er 56,5 cm bredt og 30,0 cm højt (eller langt).

Husk, at arealet har enheden cm², da rektanglets højde og bredde er givet i cm.

2.2

Du skal vise med beregning, at radius i cylinderen bliver ca. 9 cm.

Hint

Når rektanglet omformes til et rør, så er rørets omkreds lig med bredden af rektanglet:

Løsning

Når rektanglet omformes til et rør, så er rørets omkreds lig med bredden af rektanglet, dvs. at rørets omkreds O er 56,5 cm.

Vi beregner rørets diameter:

56,5 = d · π → d ≈ 17,985

Derefter beregner vi rørets radius:

17,985 : 2 ≈ 8,993

Rørets radius er ca. 9 cm.

Kommentarer til løsningen

Sammenhængen mellem omkredsen O og diameteren d er

O = d · π

Du kan løse ligningen 56,5 = d · π i et CAS-værktøj, fx GeoGebra™. Du kan løse ligningen i GeoGebra ved at skrive Løsninger(56.5=d*pi) i CAS-vinduet og trykke Enter.

Radius r er halvt så stor som diameteren d:

$r = \frac{d}{2}$

2.3

Hvor stort bliver cylinderens rumfang?

Facit

7634 cm³

Hint

Rumfanget af en cylinder med radius r og højde h er givet ved

V = π · r² · h

Løsning

Vi beregner cylinderens rumfang:

π · 9² · 30 ≈ 7634,07

Cylinderens rumfang er ca. 7634 cm³.

Kommentarer til løsningen

Vi beregnede cylinderens radius i opgave 2.2: r ≈ 9.

2.4

Undersøg, hvilken bredde rektanglet skal have, hvis rumfanget af cylinderen skal være 9000 cm³, og højden stadig skal være 30,0 cm.

Facit

61,4 cm

Hint

Beregn radius ud fra rumfanget og højden. Beregn derefter diameteren og til sidst omkredsen.

Løsning

Vi beregner, hvor stor radius r i cylinderen skal være, hvis højden skal være 30,0 cm, og rumfanget skal være 9000 cm³:

9000 = π · r² · 30 → r ≈ 9,772

Vi beregner diameteren, hvis radius er 9,772 cm:

2 · 9,772 = 19,544

Vi beregner omkredsen af cylinderen, hvis diameteren er 19,544 cm:

19,544 · π ≈ 61,399

Rumfanget af cylinderen er 9000 cm³, når omkredsen af cylinderen er ca. 61,4 cm, dvs. når bredden af rektanglet er ca. 61,4 cm.

Kommentarer til løsningen

Vi løser opgaven ved at bruge fremgangsmåden i opg. 2.2 og 2.3, men "baglæns": Først beregner vi radius ud fra rumfanget og højden, så beregner vi diameteren og til sidst omkredsen.

Du kan løse ligningen 9000 = π · r² · 30 i et CAS-værktøj, fx GeoGebra™. Løs ligningen i GeoGebra ved at skrive Løsninger(9000=pi*r^2*30) i CAS-vinduet og trykke Enter.

Opgave 3 - I praktik på en avis

3.1

Du skal skrive, om hvert af de fire diagrammer viser data rigtigt og på en rimelig måde og bruge det til at begrunde, hvilket af de fire diagrammer du ville vælge at bruge til avisen.

Hint

Beregn andelen af elever, der læser nyheder næsten hver dag, flere gange om ugen, flere gange om måneden, sjældent eller aldrig. Sammenlign dit resultat med diagrammerne i opgaven.

Løsning

Vi laver en optælling af, hvor mange elever der læser nyheder næsten hver dag, flere gange om ugen, flere gange om måneden, sjældent eller aldrig. Vi beregner også, hvor mange procent hver kategori udgør:

Vi kan se på diagram 1, at tallene er forkerte. Fx har ca. 22% af eleverne svaret "flere gange om ugen", men ifølge diagram 1 er det ca. 25% af eleverne, der har svaret "flere gange om ugen".

Tallene på diagram 2 ser korrekte ud, men da skalaen på y-aksen starter ved 12 i stedet for 0, så ser forskellene mellem andelene større ud end de egentlig er, så diagrammet er misvisende.

Tallene på diagram 4 ser korrekte ud, men skalaen på y-aksen er valgt, så tallene fordobles, dvs. at forskellene mellem andelene ser mindre ud, end de egentlig er, så diagrammet er misvisende.

Tallene på diagram 3 ser korrekte ud, og skalaen på y-aksen er velvalgt, da skalaen starter ved 0, og der er lige langt mellem hvert tal på y-aksen. Vi ville vælge at bruge diagram 3 til avisen.

Kommentarer til løsningen

Vi laver en optælling og beregner, hvor mange procent hver kategori udgør:

Da der er svar fra 115 elever, og 15 har svaret "næsten hver dag", så udgør kategorien "næsten hver dag" 15/115, dvs. ca. 13%. Tilsvarende beregner vi andelen for de andre kategorier.

Opgave 4 - I praktik som bager

4.1

Hvor meget rugmel skal Karl blande med 3,0 kg hvedemel for at lave melblandingen?

Facit

7,5 kg

Hint

Da vægtforholdet er 2:5, så skal Karl bruge 2,5 gange så meget rugmel som hvedemel.

Løsning

Vi beregner, hvor meget rugmel Karl skal bruge:

3,0 · 2,5 = 7,5

Karl skal blande 3,0 kg hvedemel med 7,5 kg rugmel for at lave melblandingen.

Kommentarer til løsningen

Karl skal blande hvedemel og rugmel i vægtforholdet 2:5, dvs. at Karl skal bruge 2,5 gange så meget rugmel som hvedemel. Vi ganger derfor mængden af hvedemel med 2,5 for at få mængden af rugmel, som Karl skal bruge.

4.2

Tegn en graf, der viser, hvor meget rugmel Karl skal blande med 0-10 kg hvedemel.

Hint

Du kan fx bestemme en ligning, der beskriver sammenhængen mellem mængden af hvedemel (x) og mængden af rugmel (y), og tegne den tilhørende linje.

Løsning

Vi tegner en graf:

Kommentarer til løsningen

Vi lader y være mængden af rugmel (i kg) og x være mængden af hvedemel (i kg). Da der skal bruges 2,5 gang så meget rugmel som hvedemel, så er y = 2,5x.

Vi har tegnet linjen givet ved ligningen y = 2,5x.

4.3

Hvor meget rugmel skal Karl blande med x kg hvedemel?

Facit

2,5x

Hint

Karl skal bruge 2,5 gange så meget rugmel som hvedemel.

Løsning

Karl skal blande 2,5x kg rugmel med x kg hvedemel.

Kommentarer til løsningen

Karl skal bruge 2,5 gange så meget rugmel som hvedemel. Til x kg hvedemel skal han derfor bruge 2,5x kg rugmel.

4.4

Undersøg, hvor meget hvedemel og hvor meget rugmel Karl skal blande.

Facit

7,14 kg hvedemel og 17,86 kg rugmel

Hint

Når Karl blander 2 kg hvedemel og 5 kg rugmel, så får han 7 kg melblanding, så 5/7 af melblandingen er rugmel.

Løsning

5/7 af blandingen skal bestå af rugmel. Vi beregner, hvor meget rugmel Karl skal bruge:

$\frac{5}{7} \cdot 25 \approx 17,86$

Vi beregner, hvor meget hvedemel Karl skal bruge:

25 - 17,86 ≈ 7,14

Karl skal bruge 7,14 kg hvedemel og 17,86 kg rugmel.

Kommentarer til løsningen

Når Karl blander 2 kg hvedemel og 5 kg rugmel, så får han 7 kg melblanding, så 5/7 af melblandingen er rugmel.

5/7 af de 25 kg melblanding, som Karl skal lave, skal derfor bestå af rugmel. Vi beregner 5/7 af 25 kg ved at gange 25 med 5/7.

Vi beregner mængden af hvedemel ved at trække mængden af rugmel fra 25, da Karl skal lave 25 kg melblanding.

Opgave 5 - I praktik som tømrer

5.1

Hvor stor skal vinkel B være, hvis vinkel A skal være 65°?

Facit

25°

Hint

Vinkelsummen i en trekant er 180°:

Løsning

Vi beregner vinkel B ud fra vinkelsummen i en trekant:

180° - 65° - 90° = 25°

Vinkel B skal være 25°.

Kommentarer til løsningen

Trekant ABC er retvinklet, så vinkel C er 90°. Hvis vinkel A er 65°, så er

90° + 65° + ∠B = 180°

Det vil sige, at

∠B = 180° - 90° - 65°

5.2

Hvor stor skal længden c være, hvis a skal være 50 cm, og b skal være 30 cm?

Facit

58,3 cm

Hint

Brug Pythagoras' sætning:

a² + b² = c²

Løsning

Da trekant ABC er retvinklet, så kan vi bruge Pythagoras' sætning til at beregne længden c:

$\sqrt{50^2 + 30^2} \approx 58,310$

Længden c skal være ca. 58,3 cm.

Kommentarer til løsningen

Pythagoras' sætning fortæller, at

50² + 30² = c²

Vi beregner c ved at tage kvadratroden på begge sider af lighedstegnet:

$\sqrt{50^2 + 30^2} = c$

5.3

Undersøg, om Freyas chef har ret.

Facit

Freyas chef har ret.

Hint

Beregn, hvor stor vinkel A skal være, hvis vinkel A skal være dobbelt så stor som vinkel B.

Husk på, at i en retvinklet trekant er

$\cos(A) = \frac{b}{c}$

Løsning

Vi beregner størrelsen af vinkel B, hvis vinkel A er dobbelt så stor som vinkel B:

180° = 2B + B + 90° → B = 30°

Hvis vinkel A skal være dobbelt så stor som vinkel B, så skal vinkel B være 30° og vinkel A 60°.

Da trekant ABC er en retvinklet trekant, så er

$\cos(A) = \frac{b}{c}$

Vi beregner cos(60°):

$\cos (60\degree ) = \frac{1}{2}$

Når vinkel A er 60°, så er

$\frac{b}{c} = \frac{1}{2}$

Når vinkel A er dobbelt så stor som vinkel B, så er forholdet mellem længderne b og c 1/2, dvs. at længden c er dobbelt så lang som længden b. Freyas chef har ret.

Kommentarer til løsningen

Vinkelsummen i en trekant er 180°:

180° = A + B + C

Da vinkel C er 90°, og A = 2B, så er

180° = 2B + B + 90°

Du kan løse ligningen 180° = 2B + B + 90° i et CAS-værktøj, fx GeoGebra™. Løs ligningen i GeoGebra ved at skrive Løsninger(180=2B+B+90) i CAS-vinduet og trykke Enter.

I en retvinklet trekant er

$\cos(A) = \frac{b}{c}$

Da A = 60° og cos(60°) = 1/2, så er

$\frac{1}{2} = \frac{b}{c}$

Forholdet mellem længderne b og c er 1/2, dvs. at forholdet mellem længderne b og c er 1:2. Længden c er altså dobbelt så lang som længden b.

Opgave 6 - En figurfølge

6.1

Tegn figur 5 i figurfølgen.

Facit

Hint

Tæl, hvor mange prikker bred og lang hver figur er.

Løsning

Vi tegner figur 5:

Kommentarer til løsningen

Vi aflæser, at

figur 1 består af 1 x 2 prikker

figur 2 består af 2 x 3 prikker

figur 3 består af 3 x 4 prikker

figur 4 består af 4 x 5 prikker.

Så figur 5 består af 5 x 6 prikker.

6.2

Hvor mange prikker består figur 10 af?

Facit

110

Hint

Figur 1 består af 1 x 2 prikker.

Figur 2 består af 2 x 3 prikker.

Figur 3 består af 3 x 4 prikker osv.

Løsning

Figur 10 består af 10 x 11 prikker. Vi beregner antallet af prikker:

10 · 11 = 110

Figur 10 består af 110 prikker.

Kommentarer til løsningen

Vi undersøger sammenhængen mellem figurnummer og antal prikker:

Figur	Størrelse	Antal prikker
1	1 x 2	1 · 2 = 2
2	2 x 3	2 · 3 = 6
3	3 x 4	3 · 4 = 12
4	4 x 5	4 · 5 = 20
:	:	:
10	10 x 11	10 · 11 = 110

6.3

Hvor mange prikker består figur n af?

Facit

n² + n

Hint

Brug samme fremgangsmåde som i opg. 6.2.

Løsning

Figur n består af n x (n + 1) prikker. Vi beregner antallet af prikker:

n · (n + 1) = n² + n

Figur n består af n² + n prikker.

Kommentarer til løsningen

I opg. 6.2 undersøgte vi sammenhængen mellem figurnummeret og antal prikker. Vi generaliserer mønstret:

Figur	Størrelse	Antal prikker
1	1 x 2	1 · 2 = 2
2	2 x 3	2 · 3 = 6
3	3 x 4	3 · 4 = 12
4	4 x 5	4 · 5 = 20
:	:	:
n	n x (n + 1)	n · (n + 1) = n² + n

6.4

Undersøg, om der i figurfølgen er en figur, der består af præcis 200 prikker.

Facit

Der er ingen figur, der består af præcis 200 prikker.

Hint

Lav en tabel i Excel, hvor du beregner antallet af prikker i figur 11, 12, 13, ...

Løsning

Vi beregner antallet af prikker i en række figurer i Excel:

Der er 182 prikker i figur 13 og 210 prikker i figur 14, så der findes ingen figur, der består af præcis 200 prikker.

Kommentarer til løsningen

Vi beregnede i opg. 6.2, at der er 110 prikker i figur 10, så hvis der er en figur med 200 prikker, så er figurnummeret større end 10.

Vi laver en tabel i Excel, hvor vi beregner antallet af prikker i en række figurer. Du kan se beregningerne herunder:

Opgave 7 - Trekanter i en cirkel

7.1

Undersøg, hvor mange forskellige trekanter du kan tegne i cirklerne på svararket.

Hint

Du kan prøve dig frem ved at tegne forskellige trekanter.

Du kan bruge prikkerne på cirklen til at "måle" længden af trekanternes sider, så du kan sammenligne forskellige trekanter. Vi tæller antal prikker mellem et linjestykkes endepunkter, fx har nedenstående trekant sidelængderne 0 prikker, 2 prikker, 5 prikker:

Løsning

Vi tegner forskellige trekanter:

Kommentarer til løsningen

Vi bruger prikkerne på cirklen til at "måle" længden af trekanternes sider, så vi kan sammenligne forskellige trekanter. Vi måler længden af en side ved at tælle antal prikker mellem linjestykkets endepunkter.

Vi laver en tabel over de mulige sidelængder. Vi navngiver trekanterne ud fra sidelængderne, og vi tæller sidelængderne med uret rundt:

Trekant-"navn"	Side 1	Side 2	Side 3
0-0-7	0	0	7
0-1-6	0	1	6
0-2-5	0	2	5
0-3-4	0	3	4
0-4-3	0	4	3
0-5-2	0	5	2
0-6-1	0	6	1
1-1-5	1	1	5
1-2-4	1	2	4
1-3-3	1	3	3
1-4-2	1	4	2
2-2-3	2	2	3

Vær opmærksom på, at trekanterne "1-4-2" og "4-2-1" er ens, da det er den samme trekant, hvor længden af siderne nævnes i to forskellige rækkefølger:

Trekanterne "1-4-2" og "1-2-4" er ikke ens, da de er spejlinger af hinanden: