Uden hjælpemidler

Her finder du facit og vores løsninger til opgaverne i prøven uden hjælpemidler fra Matematik FP9 3. maj 2018.

Du kan få hjælp til at løse en lang række af opgaverne i vores vejledning til FP9 færdighedsregning.

Indhold

Opgave 1
Opgave 2
Opgave 3
Opgave 4
Opgave 5
Opgave 6
Opgave 7
Opgave 8
Opgave 9
Opgave 10
Opgave 11
Opgave 12
Opgave 13
Opgave 14
Opgave 15
Opgave 16
Opgave 17
Opgave 18
Opgave 19
Opgave 20

Opgave 1

1.1

Hvor mange penge koster cykelhjelmen og cykellåsen i alt?

Facit

748 kr.

Hint

Læg prisen for cykelhjelmen (499 kr.) sammen med prisen for cykellåsen (249 kr.).

Løsning

Vi beregner, hvor mange penge cykelhjelmen og cykellåsen koster i alt ved at lægge prisen for cykelhjelmen (499 kr.) sammen med prisen for cykellåsen (249 kr.):

$\begin{align*} && \overset{1}{4}\overset{1}{9}9 \\ & + & 249 \\ \hline & = & 748 \end{align}$

Cykelhjelmen og cykellåsen koster 748 kr. i alt.

1.2

Hvor mange penge koster den røde cykel mere end den blå cykel?

Facit

1249 kr.

Hint

Træk prisen på den blå cykel (2750 kr.) fra prisen på den røde cykel (3999 kr.).

Løsning

Vi beregner forskellen mellem prisen på den røde cykel og prisen på den blå cykel ved at trække prisen på den blå cykel (2750 kr.) fra prisen på den røde cykel (3999 kr.):

$\begin{align*} && 3999 \\ & - & 2750 \\ \hline & = & 1249 \end{align}$

Den røde cykel koster 1249 kr. mere end den blå cykel.

1.3

Hvor mange måneder går der, før hun kan købe cyklen?

Facit

Hint

Beregn først, hvor mange penge Ellen har sparet sammen efter 10 måneder.

Løsning

Vi får oplyst, at Ellen sparer 250 kr. sammen hver måned. Vi beregner, hvor mange penge Ellen har sparet sammen efter 10 måneder:

250 · 10 = 2500

Efter 10 måneder har Ellen sparet 2500 kr. sammen.

Vi beregner, hvor mange penge Ellen mangler at spare sammen for at have sparet 2750 kr. sammen:

$\begin{align*} && 2750 \\ & - & 2500 \\ \hline & = & 250 \end{align}$

Efter 10 måneder mangler Ellen 250 kr., dvs. at hun skal vente én måned mere. Der går derfor 11 måneder.

Opgave 2

2.1

Hvor mange æggeblommer skal Ellen bruge, hvis hun vil lave koldskål til 24 personer?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om opskrifter.

Facit

Hint

Beregn, hvor mange portioner koldskål Ellen skal lave, når én portion giver koldskål til 4 personer.

Løsning

Vi kan se i opskriften, at Ellen skal bruge 2 æggeblommer, hvis hun skal lave 1 portion koldskål (dvs. til 4 personer).

Ellen skal lave 6 portioner, hvis hun skal lave koldskål til 24 personer. Hun skal derfor bruge 6 gange så mange æggeblommer, som der står i opskriften:

6 · 2 = 12

Ellen skal bruge 12 æggeblommer.

2.2

Hvor meget kærnemælk skal Ellen bruge, hvis hun vil lave koldskål til 2 personer?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om opskrifter.

Facit

$\frac{1}{4} \text{ L}$

(0,25 eller en anden brøk, der kan forkortes til 1/4, er også korrekte svar.)

Hint

Beregn, hvor mange portioner koldskål Ellen skal lave, når én portion giver koldskål til 4 personer.

Løsning

Vi kan se i opskriften, at Ellen skal bruge ½ L kærnemælk, hvis hun skal lave 1 portion koldskål (dvs. til 4 personer).

Ellen skal lave ½ portion, hvis hun skal lave koldskål til 2 personer. Hun skal derfor bruge halvt så meget kærnemælk, som der står i opskriften:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Ellen skal bruge 1/4 L kærnemælk.

Opgave 3

3.1

Hvor mange dage kan Ellens kat få mad, når en pose indeholder 1500 g kattemad?

Facit

Hint

Beregn først, hvor meget mad Ellens kat spiser på 10 dage.

Løsning

Vi beregner, hvor mange dage Ellens kat er om at spise 1500 g kattemad:

Antal dage	Mængde kattemad (g)
1	50
10	500
30	1500

Ellens kat spiser 1500 g kattemad på 30 dage.

3.2

Hvor mange gram kattemad spiser Jacobs kat i gennemsnit om dagen?

Facit

75 g

Hint

Del mængden af kattemad (1500 g) med antallet af dage (20).

Løsning

Vi får oplyst, at Jacobs kat spiser 1500 g på 20 dage.

Vi beregner, hvor mange gram kattemad Jacobs kat spiser i gennemsnit om dagen ved at dele 1500 med 20:

Jacobs kat spiser i gennemsnit 75 g kattemad om dagen.

Opgave 4

4.1

287 + 10013.

Facit

10300

Løsning

$\begin{align*} && \overset{1}{2}\overset{1}{8}7 \\ & + & 10013 \\ \hline & = & 10300 \end{align}$

4.2

801 – 499.

Facit

302

Løsning

$\begin{align*} && \cancel{8}\cancel{\overset{1}{0}}\overset{1}{1} \\ & - & 499 \\ \hline & = & 302 \end{align}$

4.3

102 · 18.

Facit

1836

Hint

102 · 18 = 18 · 102.

Løsning

$\begin{align*} && 18 \cdot 1\overset{1}{0}2 \\ \hline && 816 \\ && 1020 \\ \hline && 1836 \end{align}$

4.4

3648 : 12.

Facit

304

Løsning

Opgave 5

5.1

11,45 + ___ = 13

Facit

1,55

Hint

Beregn først, hvad der skal lægges til 11,45 for at få 12.

Løsning

Vi skal lægge 0,55 til 11,45 for at få 12:

11,45 + 0,55 = 12

Vi skal derfor lægge 1,55 til 11,45 for at få 13:

11,45 + 1,55 = 13

5.2

10 · ___ = 5

Facit

$\frac{1}{2}$

(0,5 eller en anden brøk, der kan forkortes til $\tfrac{1}{2}$ , er også et korrekt svar.)

Hint

Beregn først, hvad 10 skal deles med for at få 5.

Løsning

Vi skal dele 10 med 2 for at få 5. At dele med 2 er det samme som at gange med en halv, så

$10 \cdot \frac{1}{2} = 5$

5.3

$\frac{1}{8} + \underline{\qquad} = \frac{3}{4}$

Facit

$\frac{5}{8}$

(0,625 eller en anden brøk, der kan forkortes til $\tfrac{5}{8}$ , er også et korrekt svar.)

Hint

Forlæng brøken på højre side af lighedstegnet med 2.

Løsning

Vi forlænger brøken på højre side af lighedstegnet med 2, så den får samme nævner som brøken på venstre side:

$\frac{1}{8} + \underline{\qquad} = \frac{6}{8}$

Vi skal lægge 5/8 til 1/8 for at få 6/8:

$\frac{1}{8} + \frac{5}{8} = \frac{6}{8}$

Opgave 6

6.1

Hvilket tal har den mindste værdi?

Facit

0,0099

Hint

0,01 er mindre end 0,1.

Løsning

Vi stiller tallene op i rækkefølge efter størrelse:

0,0099 < 0,098 < 0,10 < 0,39 < 0,4

0,0099 har den mindste værdi.

6.2

Hvilket regneudtryk har den mindste værdi?

Facit

(-2)³

Hint

Husk, at "minus gange minus giver plus".

Løsning

Vi beregner udtrykkene:

(-3)²	=	(-3) · (-3)
	=	9

0 - (-8)	=	0 + 8
	=	8

-6 + 2²	=	-6 + 4
	=	-2

(-4)² - 6	=	16 - 6
	=	10

(-2)³	=	(-2) · (-2) · (-2)
	=	4 · (-2)
	=	-8

(-2)³ har den mindste værdi.

Opgave 7

7.1

6x + 4 = 28

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om ligninger.

Facit

x = 4

Hint

Isolér x på den ene side af lighedstegnet. Træk først 4 fra på begge sider af lighedstegnet, og del derefter med 6.

Løsning

Vi opskriver ligningen:

6x + 4 = 28

Vi trækker 4 fra på begge sider af lighedstegnet:

$6x + 4 {\color{Red} \ - \ 4} = 28 {\color{Red} \ - \ 4}$

Vi får så:

6x = 24

Vi deler med 6 på begge sider af lighedstegnet:

$\frac{6x}{{\color{Red}6}} = \frac{24}{{\color{Red}6}}$

Vi får så:

x = 4

7.2

$\frac{x}{2} + 1 = 5$

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om ligninger.

Facit

x = 8

Hint

Isolér x på den ene side af lighedstegnet. Træk først 1 fra på begge sider af lighedstegnet, og gang derefter med 2.

Løsning

Vi opskriver ligningen:

$\frac{x}{2} + 1 = 5$

Vi trækker 1 fra på begge sider af lighedstegnet:

$\frac{x}{2} + 1 {\color{Red} \ - \ 1} = 5 {\color{Red} \ - \ 1}$

Vi får så:

$\frac{x}{2} = 4$

Vi ganger med 2 på begge sider af lighedstegnet:

$\frac{x}{2} {\color{Red} \ \cdot \ 2} = 4 {\color{Red} \ \cdot \ 2}$

Vi får så:

x = 8

7.3

4 · (x – 2) = 2x + 6

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om ligninger.

Facit

x = 7

Hint

Isolér x på den ene side af lighedstegnet. Gang først ind i parentesen. Du kan gange 4 ind i parentesen ved at gange både x og -2 med 4.

Løsning

Vi opskriver ligningen:

$4 \cdot (x - 2) = 2x + 6$

Vi ganger 4 ind i parentesen ved at gange hvert led i parentesen med 4:

${\color{Red}4 \ \cdot \ } x - {\color{Red}4 \ \cdot \ }2 = 2x + 6$

Vi får så:

4x - 8 = 2x + 6

Vi lægger 8 til på begge sider af lighedstegnet:

$4x - 8 {\color{Red} \ + \ 8 } = 2x + 6 {\color{Red} \ + \ 8 }$

Vi får så:

4x = 2x + 14

Vi trækker 2x fra på begge sider af lighedstegnet:

$4x {\color{Red} \ - \ 2x} = 2x + 14 {\color{Red} \ - \ 2x}$

Vi får så:

2x= 14

Vi deler med 2 på begge sider af lighedstegnet:

$\frac{2x}{{\color{Red}2}} = \frac{14}{{\color{Red}2}}$

Vi får så:

x = 7

Opgave 8

8.1

Omskriv 7 % til brøk.

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om procent.

Facit

$\frac{7}{100}$

Hint

Benyt, at

$a \% = \frac{a}{100}$

8.2

Omskriv 1,25 til procent.

Facit

125%

Hint

Vi omskriver et decimaltal til procent ved at gange med 100.

Løsning

Vi omskriver 1,25 til procent ved at gange med 100. Vi ganger med 100 ved at rykke kommaet to pladser mod højre:

1,25 · 100 = 125

1,25 er 125%.

8.3

Omskriv $\tfrac{1}{8}$ til decimaltal.

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om brøker.

Facit

0,125

Hint

$\frac{1}{4} = 0,25$

Løsning

Vi ved, at

$\frac{1}{4} = 0,25$

Da $\tfrac{1}{8}$ er halvdelen af $\tfrac{1}{4}$ , så er $\tfrac{1}{8}$ halvdelen af 0,25:

$\frac{0,25}{2} = 0,125$

Opgave 9

9.1

Hvilket af de fem udtryk er en korrekt omskrivning af formlen?

Facit

$h = \frac{2 \cdot A}{g}$

Hint

Omskriv formlen ved at isolere h i ligningen.

Løsning

Vi skal omskrive formlen

$A = \frac{g \cdot h}{2}$

Først ganger vi med 2 på begge sider af lighedstegnet:

${\color{Red}2 \ \cdot \ } A = {\color{Red}2 \ \cdot \ } \frac{g \cdot h}{2}$

Vi får så:

$2 \cdot A = g \cdot h$

Vi deler med g på begge sider af lighedstegnet:

$\frac{2 \cdot A}{{\color{Red}g}} = \frac{g \cdot h}{{\color{Red}g}}$

Vi får så:

$\frac{2 \cdot A}{g} = h$

Opgave 10

10.1

Hvor mange minutter var hun i gennemsnit om at løbe en kilometer?

Facit

Hint

Del antallet af minutter med antal kilometer for at få "antal minutter pr. kilometer".

Løsning

Vi får oplyst, at Ellen løb 5 km på 35 minutter. Vi beregner, hvor lang tid Ellen i gennemsnit brugte på at løbe 1 km ved at dele 35 med 5:

35 : 5 = 7

Ellen var i gennemsnit 7 minutter om at løbe en kilometer.

10.2

Hvilken gennemsnitsfart skal hun løbe med for at løbe 8 km på 40 minutter?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om gennemsnitsfart.

Facit

Hint

Beregn først, hvor lang tid Ellen er om at løbe 4 km, hvis hun løber med samme gennemsnitsfart.

Løsning

Vi får oplyst, at Ellen gerne vil løbe 8 km på 40 minutter. Vi omregner, hvor langt Ellen kan løbe, hvis hun løber med samme gennemsnitsfart:

Antal km	Antal minutter
8	40
4	20
12	60

Ellen skal løbe 12 km på 60 minutter, dvs. at hun skal løbe med en gennemsnitsfart på 12 km/t.

Opgave 11

11.1

Omkredsen af rektanglet er?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om omkreds og areal.

Facit

Hint

Beregn omkredsen af rektanglet ved at lægge længderne af alle siderne sammen.

Løsning

Vi aflæser, at rektanglet har længden 2a og bredden a.

Vi beregner omkredsen af rektanglet ved at lægge længderne af alle siderne sammen. Rektanglet har to sider med længden 2a og to sider med længden a:

$\begin{align*} O &= 2a + a + 2a + a \\[1em] &= 6a \end{align}$

Omkredsen er 6a.

11.2

Arealet af rektanglet er?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om omkreds og areal.

Facit

2a²

Hint

Beregn arealet af rektanglet ved at gange længden med bredden.

Løsning

Vi beregner arealet af rektanglet ved at gange længden (2a) med bredden (a):

$\begin{align*} A &= 2a \cdot a \\[1em] &= 2a^2 \end{align}$

Arealet er 2a².

Opgave 12

12.1

Hvor mange meter metalkant skal der sidde langs bordpladen?

Facit

4,50 m

Hint

Metalkanten består af fire stykker. Det første stykke er 1,00 m, og det sidste er 0,50 m. Brug målene på figuren til at beregne længden af de to andre stykker.

Løsning

Vi beregner nogle af bordpladens mål:

Da hele bordpladen er 2,50 m lang, og det lille stykke nederst til højre er 0,50 m langt, så må resten af bordpladen være 2,00 m lang.

Da hele bordpladen er 2,00 m bred, og det store stykke til venstre er 1,00 m bredt, så må det lille stykke nederst til højre også være 1,00 m bredt.

Vi beregner, hvor lang metalkanten skal være:

1,00 m + 2,00 m + 1,00 m + 0,50 m = 4,50 m

Metalkanten skal være 4,50 m lang.

12.2

Hvor mange kvadratmeter er bordpladen?

Facit

Hint

Del bordpladen op i to rektangler, og beregn arealet af hvert rektangel.

Løsning

Vi deler bordpladen op i to rektangler, I og II:

Rektangel I er 2 m lang og 1 m bred.

Rektangel II er 2 m lang og 0,5 m bred.

Vi beregner arealet af hvert rektangel ved at gange længden med bredden:

$\begin{align*} A_{\text{I}} &= 2 \cdot 1 \\[1em] &= 2 \\[1.5em] A_{\text{II}} &= 2 \cdot 0,5 \\[1em] &= 1 \end{align}$

Da bordpladen kan deles op i rektangel I og rektangel II, så kan vi beregne bordpladens areal ved at lægge arealerne af de to rektangler sammen:

$\begin{align*} A_{\text{bordplade}} &= A_{\text{I}} + A_{\text{II}} \\[1em] &= 2 + 1 \\[1em] &= 3 \end{align}$

Arealet af bordpladen er 3 m².

Opgave 13

13.1

0,7 L = ___ dL

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om omregning af enheder.

Facit

Hint

1 L er 10 dL.

Løsning

1 L er 10 dL, så vi omskriver 0,7 L til dL ved at gange 0,7 med 10:

0,7 · 10 = 7

0,7 L er 7 dL.

13.2

2000 cm³ = ___ L

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om omregning af enheder.

Facit

Hint

1 dm³ er 1 L.

Løsning

1000 cm³ er 1 dm³, så vi omskriver 2000 cm³ til dm³ ved at dele 2000 med 1000:

2000 : 1000 = 2

2000 cm³ er 2 dm³.

1 dm³ er 1 L, så 2 dm³ er 2 L.

13.3

775 g = ___ kg

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om omregning af enheder.

Facit

0,775

Hint

1000 g er 1 kg.

Løsning

1000 g er 1 kg, så vi omskriver 775 g til kg ved at dele 775 med 1000:

775 : 1000 = 0,775

775 g er 0,775 kg.

13.4

3 timer = ___ minutter

Facit

180

Hint

1 time er 60 minutter.

Løsning

1 time er 60 minutter. 3 timer er derfor 3 gange så mange minutter:

$\begin{align*} 3 \cdot 60 &= 60 + 60 + 60 \\[1em] &= 120 + 60 \\[1em] &= 180 \end{align}$

3 timer er 180 minutter.

Opgave 14

14.1

Vinkel v er?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om vinkler.

Facit

75°

Hint

Nabovinkler er 180° tilsammen:

Løsning

Vi aflæser, at vinkel v og vinklen på 105° er nabovinkler, dvs. at de tilsammen er 180°:

v + 105° = 180°

Vi trækker 105° fra på begge sider af lighedstegnet:

v = 75°

14.2

Vinkel B er?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om vinkler.

Facit

30°

Hint

Vinkelsummen i en trekant er 180°:

Løsning

Vinkelsummen i en trekant er 180°, så

∠A + ∠B + ∠C = 180°

Vi aflæser, at vinkel A er 45°, og at vinkel C er 105°. Dermed er

45° + ∠B + 105° = 180°

Vi lægger 45° og 105° sammen og får så:

∠B + 150° = 180°

Vi trækker 150° fra på begge sider af lighedstegnet og får så:

∠B = 30°

Vinkel B er 30°.

Opgave 15

15.1

Hvilken linje går gennem punktet (1,4)?

Facit

Hint

Find punktet (1,4) i koordinatsystemet.

Løsning

Vi finder punktet (1,4) ved at starte i (0,0), gå 1 hen ad x-aksen og derefter 4 op ad y-aksen. Der er kun én linje, der går gennem (1,4): linje o.

15.2

Hvilken linje har hældningstallet -2?

Facit

Hint

Hvis vi vælger et punkt på en linje med et negativt hældningstal, og vi går 1 hen ad x-aksen, så skal vi gå ned ad y-aksen for at ramme linjen igen. Vi kan derfor udelukke linje o og linje p.

Løsning

Linje n går gennem punktet (0,2). Hvis vi starter i (0,2) og går 1 hen ad x-aksen, så skal vi gå 2 ned ad y-aksen for at ramme linjen igen, dvs. at hældningstallet er -2.

15.3

Hvilken linje har ligningen y = -x + 2?

Facit

Hint

Linjen givet ved ligningen y = a · x + b går gennem punktet (0,b).

Løsning

Linjen givet ved ligningen y = a · x + b går gennem punktet (0,b) og har hældningstallet a.

Linjen givet ved ligningen y = -x + 2 går derfor gennem punktet (0,2). Vi kan derfor udelukke linje l og linje p.

Linjens hældningstal er -1. Linje m har hældningstallet -1, for hvis vi vælger et punkt på linjen og går 1 hen ad x-aksen, så skal vi gå 1 ned ad y-aksen for at ramme linjen igen. (Vi fandt i opg. 15.2, at linje n har hældningstallet -2. Linje o har et positivt hældningstal.)

Linje m har hældningstallet -1 og går gennem punktet (0,2), så linje m er givet ved ligningen y = -x + 2.

15.4

Hvilken linje er parallel med linjen p?

Facit

Hint

Parallelle linjer skærer ikke hinanden.

Løsning

Parallelle linjer skærer ikke hinanden.

Linje l, m og n skærer alle linje p. Linje o er parallel med linje p.

Opgave 16

16.1

Rumfanget af pyramiden er?

Facit

Hint

Benyt formlen i den gule boks til at beregne pyramidens rumfang. G er arealet af den kvadratiske grundflade med sidelængden 3.

Løsning

Vi aflæser, at pyramiden har højden h = 2 og en kvadratisk grundflade med sidelængden 3.

Vi beregner grundfladens areal:

$\begin{align*} G &= 3 \cdot 3 \\[1em] &= 9 \end{align}$

Grundfladens areal er 9.

Vi bruger formlen i den gule boks til at beregne pyramidens rumfang:

$\begin{align*} V &= \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 9 \\[1em] &= \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 2 \\[1em] &= 3 \cdot 2 \\[1em] &= 6 \end{align}$

Pyramidens rumfang er 6.

16.2

Arealet af pyramidens overflade er?

Facit

Hint

Beregn overfladearealet ved at lægge arealet af kvadratet sammen med arealerne af de fire trekanter.

Løsning

Vi får oplyst, at pyramidens overflade består af et kvadrat og fire trekanter, der hver har et areal på 3,75.

Vi beregner det samlede areal af de fire trekanter:

$\begin{align*} && 4 \cdot \overset{3}{3},\overset{2}{7}5 \\ \hline && 15,00 \end{align}$

Vi bestemte i opg. 16.1, at arealet af kvadratet er 9.

Vi beregner pyramidens overfladeareal ved at lægge arealet af kvadratet sammen med arealet af de fire trekanter:

$\begin{align*} O &= 9 + 15 \\[1em] &= 24 \end{align}$

Pyramidens overfladeareal er 24.

Opgave 17

17.1

Spejl punktet P i linjen s.

Facit

Hint

Bestem den vinkelrette afstand fra punktet P til linjen s. Spejlingen af punktet P i linjen s ligger lige så langt fra s som punktet P gør.

Løsning

Vi tegner en linje fra P til linjen s, der står vinkelret på linjen s. Vi fortsætter linjen lige så langt på den anden side af linjen. Linjens endepunkt er spejlingen af P i linjen s.

Opgave 18

18.1

Hvor stor er sandsynligheden for, at Ellen trækker en grøn kugle?

Facit

$\frac{3}{10}$

(0,3 eller 30% eller en anden brøk, der kan forkortes til $\tfrac{3}{10}$ , er også et korrekt svar.)

Hint

Du kan beregne sandsynligheden med formlen

$P(\text{Gr\o n kugle}) = \frac{\text{Antal gr\o nne kugler}}{\text{Antal kugler i alt}}$

Løsning

Vi får oplyst, at der er 3 grønne kugler i æsken. Vi beregner antallet af kugler i æsken i alt:

2 + 3 + 5 = 10

Sandsynligheden for at trække en grøn kugle er

$P(\text{Gr\o n kugle}) = \frac{3}{10}$

18.2

Hvor stor er sandsynligheden for, at Ellen ikke trækker en rød kugle?

Facit

$\frac{8}{10}$

(0,8 eller 80% eller en anden brøk, der kan forkortes til $\tfrac{8}{10}$ , er også et korrekt svar.)

Hint

Du kan beregne sandsynligheden med formlen

$P(\text{Ikke r\o d kugle}) = \frac{\text{Antal kugler, der ikke er r\o de}}{\text{Antal kugler i alt}}$

Løsning

Vi får oplyst, at der er 2 røde kugler i æsken. Der er dermed 8 kugler i æsken, der ikke er røde.

Sandsynligheden for at trække en kugle, der ikke er rød, er

$P(\text{Ikke r\o d kugle}) = \frac{8}{10}$

18.3

Hvor stor er sandsynligheden for, at Ellen trækker en blå kugle begge gange?

Facit

$\frac{1}{4}$

(0,25 eller 25% eller en anden brøk, der kan forkortes til $\tfrac{1}{4}$ , er også et korrekt svar.)

Hint

Du kan beregne sandsynligheden på følgende måde:

$P(\text{Bl\aa \ kugle begge gange}) = P(\text{Bl\aa \ kugle f\o rste gang}) \cdot P(\text{Bl\aa \ kugle anden gang})$

Løsning

Vi får oplyst, at der er 5 blå kugler i æsken. Sandsynligheden for at trække en blå kugle første gang er dermed:

$\begin{align*} P(\text{Bl\aa \ kugle}) &= \frac{5}{10} \\[1em] &= \frac{1}{2} \end{align}$

Vi får oplyst, at Ellen lægger den første kugle tilbage i æsken, inden hun trækker den næste kugle, så sandsynligheden for at trække en blå kugle er den samme begge gange.

Vi beregner sandsynligheden for, at Ellen trækker en blå kugle begge gange:

$\begin{align*} P(\text{Bl\aa \ kugle begge gange}) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \\[1em] &= \frac{1}{4} \end{align}$

Opgave 19

19.1

Datasættets størsteværdi er?

Facit

Hint

Størsteværdien er det største tal i datasættet.

Løsning

Vi kan se, at datasættet består af tal mellem 1 og 5. Størsteværdien er derfor 5.

19.2

Datasættets median er?

Facit

Hint

Stil tallene op i rækkefølge efter størrelse.

Når der er et lige antal tal, så er medianen gennemsnittet af de to midterste tal.

Løsning

Vi stiller tallene op i rækkefølge efter størrelse:

1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5

Da der er et lige antal tal, så er medianen gennemsnittet af de to midterste tal. De to midterste tal er 2 og 2, så gennemsnittet er også 2. Medianen er altså 2.

Der er lidt forskellige definitioner af, hvordan man beregner medianen af et datasæt, hvor der er et lige antal data. Nogle vælger at medianen er det mindste af de to midterste tal. I denne opgave er begge de midterste tal 2, så selv om vi vælger denne definition, så får vi stadig, at medianen er 2.

19.3

Hvilket tal skal der stå i tabellens tomme felt?

Facit

Hint

Kald det manglende tal for x.

Middeltallet kan beregnes med formlen:

$\text{middeltal} = \frac{\text{summen af alle tallene}}{\text{antal tal}}$

Løsning

Vi kalder det manglende tal for x.

Vi beregner middeltallet af et datasæt ved at lægge alle tallene sammen og dele med antallet af tal. Der er 8 tal, så vi får, at middeltallet er

$\frac{10 + 3 + 1 + 5 + x + 2 + 4 + 5}{8}$

Vi får oplyst, at middeltallet skal være 4, så vi skal bestemme x, så

$\frac{10 + 3 + 1 + 5 + x + 2 + 4 + 5}{8} = 4$

Vi lægger tallene i tælleren sammen og får så:

$\frac{30 + x}{8} = 4$

Vi ganger nu med 8 på begge sider af lighedstegnet:

$\frac{30 + x}{8} {\color{Red} \ \cdot \ 8} = 4 {\color{Red} \ \cdot \ 8}$

Vi får så:

30 + x = 32

Vi trækker nu 30 fra på begge sider af lighedstegnet:

$30 + x {\color{Red} \ - \ 30} = 32 {\color{Red} \ - \ 30}$

Vi får så:

x = 2

Der skal stå 2 i det tomme felt.

Opgave 20

20.1

Cirka hvor mange procent af disse brugere anvendte WhatsApp?

Facit

ca. 10%

Hint

Aflæs, hvor mange procent, der anvendte WhatsApp, på y-aksen.

Løsning

Søjlen ved WhatsApp går ca. halvvejs op til 20%, dvs. at ca. 10% af brugerne anvendte WhatsApp.

20.2

Cirka hvor mange procent flere af brugerne anvendte Twitter end Pinterest?

Facit

ca. 100%

Hint

Sammenlign søjlerne ved Twitter og Pinterest. Hvor mange gange højere er søjlen ved Twitter end søjlen ved Pinterest?

Løsning

Søjlen ved Twitter er ca. dobbelt så høj som søjlen ved Pinterest, dvs. at vi skal lægge det der svarer til hele søjlen ved Pinterest oven på søjlen ved Pinterest for at den bliver lige så høj som søjlen ved Twitter. Da vi skal lægge en hel søjle mere (100%) ovenpå, så er der ca. 100% flere af brugerne, der anvendte Twitter end Pinterest.

$\frac{1500}{20}$	=	$\frac{150}{2}$

	=