Med hjælpemidler

Gang Annas timeløn med antallet af timer, hun arbejdede.

Vi beregner Annas løn i marts:

24 · 88,92 = 2134,08

Anna tjente 2134,08 kr. i marts.

Vi får oplyst, at Anna tjener 88,92 kr. i timen, og at hun arbejdede 24 timer i marts måned. Vi beregner Annas løn i marts måned ved at gange timelønnen (88,92 kr.) med antallet af timer, hun arbejdede (24).

Det er vigtigt, at du ikke kun angiver et facit, men at du også opstiller et regneudtryk:

24 · 88,92

1963,35 kr.

Vi får oplyst, at Anna skal betale 8% af sin løn i arbejdsmarkedsbidrag. Hun får derfor udbetalt 92% af lønnen.

Vi beregner, hvor meget Anna får udbetalt:

2134,08 · 0,92 ≈ 1963,354

Anna får udbetalt 1963,35 kr.

Vi får oplyst, at Anna skal betale 8% af sin løn i arbejdsmarkedsbidrag. Hun får derfor udbetalt 92% af sin løn.

Da 92% = 0,92, så kan vi beregne 92% af 2134,08 kr. ved at gange 2134,08 med 0,92.

Ca. 31 timer

Du kan beregne, hvor meget Anna skal tjene, ved at dele 2500 med 0,92.

Vi beregner, hvor mange penge Anna skal tjene:

2500/0,92 ≈ 2717,391

Vi beregner, hvor mange timer Anna skal arbejde:

2717,391/88,92 ≈ 30,55995

Anna skal arbejde ca. 31 timer for at få udbetalt ca. 2500 kr.

Vi får oplyst, at Anna skal betale 8% af sin løn i arbejdsmarkedsbidrag. Hun får derfor udbetalt 92% af sin løn. Da 92% = 0,92, så kan vi beregne, hvor meget Anna skal tjene for at få udbetalt 2500 kr. ved at dele 2500 med 0,92. Anna skal tjene ca. 2717,39 kr. for at få udbetalt 2500 kr.

Vi får oplyst, at Anna tjener 88,92 kr. i timen. Vi beregner, hvor mange timer Anna skal arbejde for at tjene 2717,39 kr. ved at dele 2717,39 med 88,92.

Ca. 7,6 timer

(Hvis du medregner, at Anna skal have 5 ugers ferie, så er facit 8,45 timer om ugen. 8,45 timer om ugen er også et korrekt svar.)

Beregn først, hvor mange timer Anna skal arbejde på et år for at tjene 35.300 kr. Beregn derefter, hvor mange timer Anna i gennemsnit skal arbejde om ugen.

Vi beregner, hvor mange timer Anna skal arbejde for at tjene 35.300 kr.:

35300/88,92 ≈ 396,9861

Vi beregner, hvor mange timer Anna i gennemsnit skal arbejde om ugen:

396,9861/52 ≈ 7,634348

Anna skal arbejde ca. 7,6 timer om ugen i gennemsnit.

Vi får oplyst, at Anna tjener 88,92 kr. i timen. Vi beregner, hvor mange timer Anna skal arbejde for at tjene 35.300 kr. ved at dele 35300 med 88,92. Anna skal arbejde ca. 397 timer for at tjene 35.300 kr.

Der er 52 uger på et år. Vi beregner, hvor mange timer Anna i gennemsnit skal arbejde om ugen, ved at dele 397 med 52.

Du kan prøve dig frem ved at vælge et antal garnnøgler. Beregn derefter:

• Hvor meget garn Lea har.
• Hvor mange par grydelapper, Lea kan lave.
• Hvad Lea skal betale for garnet.
• Hvad Lea skal tjene på grydelapperne for at have et overskud på 500 kr.
• Hvad prisen skal være for et par grydelapper.

Du kan fx prøve dig frem med 30, 40, 50 eller 60 nøgler garn.

Vi beregner, hvor meget garn Lea har, hvis hun køber 30 nøgler:

30 · 50 = 1500

Vi beregner, hvor mange par grydelapper Lea kan lave af 30 nøgler garn:

1500/120 = 12,5

Vi beregner, hvor mange penge Lea skal betale for 30 nøgler garn:

3 · 89 = 267

Vi beregner, hvor mange penge Lea skal tjene på at sælge grydelapperne:

267 + 500 = 767

Vi beregner, hvad prisen skal være for et par grydelapper:

767/12 ≈ 63,91667

Hvis Lea sælger 12 par grydelapper til en pris på 64 kr. pr. par, så får hun et overskud på ca. 500 kr.

Opgaven kan løses på mange forskellige måder. Vores besvarelser er et eksempel på, hvordan opgaven kan løses.

Vi får oplyst, at der er 50 g garn i et garnnøgle. Vi beregner, hvor meget garn Lea har, hvis hun køber 30 nøgler ved at gange 50 med 30. Lea har 1500 g garn.

Vi får oplyst, at der skal bruges 120 g garn til et par grydelapper. Vi beregner, hvor mange par grydelapper Lea kan lave af 1500 g garn ved at dele 1500 med 120. Lea kan lave 12 par grydelapper.

Vi får oplyst, at Lea kan købe 10 nøgler garn for 89 kr. Vi beregner prisen for 30 nøgler garn ved at gange 89 med 3. Lea skal betale 267 kr. for 30 nøgler garn.

Vi får oplyst, at Lea ønsker at have et overskud på 500 kr. Vi beregner, hvor meget Lea skal tjene for at have 500 kr. i overskud ved at lægge prisen på garnet (267 kr.) sammen med Leas ønskede overskud (500 kr.). Lea skal tjene 767 kr. på grydelapperne.

Vi har beregnet, at Lea kan lave 12 par grydelapper. Vi beregner, hvor mange penge Lea skal tjene på hvert par grydelapper for at tjene 767 kr. ved at dele 767 med 12. Lea skal sælge hvert par grydelapper for ca. 64 kr.

22,8 cm

Grydelappen er 4 kvadrater bred. Hvert kvadrat er 5,5 cm bredt. Husk, at der er en hvid kant i begge sider af grydelappen!

Vi beregner bredden af en grydelap:

4 · 5,5 + 2 · 0,4 = 22,8

En grydelap bliver 22,8 cm bred.

Vi kan se, at grydelappen er 4 kvadrater bred. Hvert kvadrat er 5,5 cm bredt, så bredden af kvadraterne er 4 · 5,5 cm.

I begge sider af grydelappen er der en hvid kant på 0,4 cm. Den samlede bredde af den hvide kant er 2 · 0,4 cm.

Den samlede bredde af grydelappen er derfor

4 · 5,5 + 2 · 0,4

Farv kvadraterne med præcis 3 forskellige farver. Husk, at kvadrater med samme farve skal dække hinanden, når grydelappen foldes!

Opgaven kan løses på mange forskellige måder. Vores besvarelse er et eksempel på en løsning.

Pilene på figuren herover viser, hvilke kvadrater der dækker hinanden, når grydelappen foldes langs den grå linje.

Grydelappen består af 16 kvadrater. Kvadraterne skal to-og-to have samme farve.

Grydelappen består af 16 kvadrater. Kvadraterne skal to-og-to have samme farve, så kvadrater, der dækker hinanden, når grydelappen foldes, har samme farve. Antallet af farver, som Lea kan bruge, er derfor 16/2 = 8. Lea kan derfor højst bruge 8 forskellige farver.

Hvis de 8 felter til venstre farves med hver sin farve, så skal de 8 felter til højre farves i samme farver, så kvadrater, der dækker hinanden, når grydelappen foldes, har samme farve.

Undersøg, hvor mange små kvadrater grydelappen består af. Husk, at kvadraterne to-og-to skal have samme farve.

En grydelap med n x n små kvadrater består af n² kvadrater. Da kvadraterne to-og-to skal have samme farve, så kan Lea højst bruge n²/2 forskellige farver.

En grydelap med n x n små kvadrater består af n · n små kvadrater, dvs. n² små kvadrater.

Når grydelappen foldes på midten, så skal kvadraterne, der dækker hinanden, have samme farve. Antallet af farver, Lea kan bruge, er derfor halvt så stort som antallet af kvadrater, dvs. at Lea højst kan bruge n²/2 forskellige farver.

1155,60 kr.

Gang antallet af personer, der følger Anton, med hans fortjeneste pr. person (0,05 kr.).

Vi beregner, hvor mange penge Anton tjener:

23112 · 0,05 ≈ 1155,6

Anton tjener 1155,60 kr.

Vi får oplyst, at Anton tjener 0,05 kr. pr. følger. Vi beregner, hvor mange penge Anton tjener, når han har 23.112 følgere, ved at gange 23112 med 0,05.

0,05 · n

Gang antallet af personer, der følger Anton, med hans fortjeneste pr. person (0,05 kr.).

Anton kan bruge udtrykket 0,05 · n.

Anton kan beregne, hvor mange penge han tjener, ved at gange antallet af personer, der følger ham (n), med hans fortjeneste pr. person (0,05 kr.).

Undersøg, hvor mange følgere Anton skal have for at hhv. tilbud 1, tilbud 2 og tilbud 3 bedst kan betale sig. Du kan fx tegne en graf for hvert tilbud.

Når Anton har færre end 25000 følgere, så kan tilbud 1 bedst betale sig. Hvis han får mellem 25000 følgere og 40000 følgere, så kan tilbud 3 bedst betale sig. Han skal have mere end 40000 følgere, for at tilbud 2 bedst kan betale sig.

Anton bør vælge Nethandleren (tilbud 3), da han kun skal have ca. 2000 følgere mere, for at tilbud 3 bedst kan betale sig.

Tilbud 1: Anton får 900 kr., uanset hvor mange følgere han har. Antons indtjening kan derfor beskrives ved den konstante funktion f(x) = 900.

Tilbud 2: Anton får 0,03 kr. pr. følger. Hvis x er antal følgere, så tjener Anton altså 0,03x. Antons indtjening kan derfor beskrives ved funktionen g(x) = 0,03x.

Tilbud 3: Anton tjener 400 kr. og derudover 0,02 kr. pr. følger. Hvis x er antal følgere, så tjener Anton altså 400 + 0,02x. Antons indtjening kan derfor beskrives ved funktionen h(x) = 400 + 0,02x.

Vi har tegnet graferne for de tre funktioner.

Anton tjener mest på tilbud 1, hvis han har under 25000 følgere, da den sorte graf (tilbud 1) er øverst.

Anton tjener mest på tilbud 3, hvis han har mellem 25000 og 40000 følgere, da den røde graf (tilbud 3) er øverst.

Anton tjener mest på tilbud 2, hvis han har mere end 40000 følgere, da den grønne graf (tilbud 2) er øverst.

Vi får oplyst, at Anton har 23.112 følgere, men at han forventer, at han kan få flere følgere. Da Anton kun skal have ca. 2000 følgere mere, for at tilbud 3 bedst kan betale sig, og Anton forventer, at han kan få flere følgere, så bør Anton vælge Nethandleren (tilbud 3).

5 elever

Tæl, hvor mange gange 7 eller tal større end 7 optræder i regnearket.

5 elever arbejdede 7 timer eller mere.

Tallene i regnearket angiver, hvor mange timer hver elev arbejdede. Vi tæller, at der var 5 elever, der arbejdede 7 timer eller mere:

3,8 timer

Beregn gennemsnittet af tallene i regnearket.

Eleverne arbejdede i gennemsnit 3,8 timer.

Vi har brugt formlen =MIDDEL(A4:A31) til at beregne gennemsnittet.

Du kan fx lave et boksplot eller et søjlediagram.

Vi laver et boksplot:

Vi har lavet et boksplot over fordelingen af data.

Du kan fx lave diagrammet i GeoGebra™:

• Kopiér datasættet ind i et regneark i GeoGebra.
• Markér dataene og vælg "Enkeltvariabelanalyse" (ikon nr. 2 i værktøjslinjen).
• Du får nu vist et histogram. Vælg fx "boksplot" eller "søjlediagram" i drop-down-menuen.

Påstand B) og C) er korrekte.

Aflæs den nedre kvartil, medianen, den øvre kvartil og størsteværdien på boksplottet.

A)

5 er den øvre kvartil, dvs. at 25% af eleverne i 9. B arbejdede 5 timer eller mere i uge 9. Påstand A) er ikke korrekt.

B)

2 er den nedre kvartil, og 5 er den øvre kvartil. 50% af eleverne arbejdede derfor mellem 2 timer og 5 timer i uge 9. Påstand B) er korrekt.

C)

2 er den nedre kvartil, og 3 er medianen. 25% af eleverne arbejdede derfor mellem 2 timer og 3 timer i uge 9.

5 er den øvre kvartil, og 8 er størsteværdien. 25% af eleverne arbejdede derfor mellem 5 timer og 8 timer i uge 9.

Antallet af elever, der arbejdede mellem 2 og 3 timer, var derfor det samme, som antallet af elever, der arbejdede mellem 5 og 8 timer. Påstand C) er korrekt.

Vi aflæser på boksplottet, at

• mindsteværdien er 0
• den nedre kvartil er 2
• medianen er 3
• den øvre kvartil er 5
• størstværdien er 8

Om eleverne i 9. B ved vi derfor, at

• 25% af eleverne arbejdede mellem 0 og 2 timer.
• 25% af eleverne arbejdede mellem 2 og 3 timer.
• 25% af eleverne arbejdede mellem 3 og 5 timer.
• 25% af eleverne arbejdede mellem 5 og 8 timer.

A)

25% af eleverne arbejdede mellem 5 og 8 timer, så færre end halvdelen af eleverne arbejdede 5 timer eller mere. Påstand A) er derfor ikke korrekt.

B)

25% af eleverne arbejdede mellem 2 og 3 timer, og 25% af eleverne arbejdede mellem 3 og 5 timer, så 50% af eleverne arbejdede mellem 2 og 5 timer. Da halvdelen af eleverne arbejdede mellem 2 og 5 timer, så er påstand B) korrekt.

C)

25% af eleverne arbejdede mellem 2 og 3 timer, og 25% af eleverne arbejdede mellem 5 og 8 timer. Da andelen af elever, der arbejdede mellem 2 og 3 timer og mellem 5 og 8 timer er den samme, så er antallet af elever, der arbejdede mellem 2 og 3 timer og mellem 5 og 8 timer også det samme. Påstand C) er korrekt.

Du kan tegne figuren i et dynamisk geometriprogram som fx GeoGebra™. Hypotenusen i en trekant er den ene katete i den næste trekant. Den anden katete har længden 1.

Du kan tegne figuren i et dynamisk geometriprogram som fx GeoGebra™:

1. Tegn et linjestykke med længden 1 med værktøjet Linjestykke med given længde.
2. Tegn en linje, der går gennem linjestykkets venstre endepunkt og står vinkelret på linjestykket, med værktøjet Vinkelret linje.
3. Tegn en cirkel med radius 1 og centrum i linjestykkets venstre endepunkt med værktøjet Cirkel ud fra centrum og radius. 
   
4. Markér det øverste skæringspunkt mellem linjen og cirklen med værktøjet Skæringsværktøj.
5. Tegn et nyt linjestykke fra skæringspunktet mellem linjen og cirklen til det første linjestykkes højre endepunkt med værktøjet Linjestykke. Du har nu tegnet den første trekant.
6. Tag udgangspunkt i trekantens hypotenuse, og tegn den næste trekant ved at gentage punkt 2 - 6. Stop, når du har tegnet 4 trekanter.

Brug Pythagoras' sætning til at beregne længden af hypotenusen i figur 1.

Vi beregner længden af hypotenusen i figur 1 med Pythagoras' sætning:

1² + 1² = c²

c = √2

Hypotenusen er √2.

Vi beregner omkredsen af figur 1:

1 + 1 + √2 = 2 + √2

Omkredsen er 2 + √2.

Vi aflæser på figur 1, at begge kateter har længden 1. Derfor er

1² + 1² = c²

Vi isolerer c i ligningen. Du kan fx løse ligningen med et CAS-værktøj. Du kan løse ligningen i GeoGebra™ ved at bruge CAS-vinduet. Skriv Løsninger(1^2+1^2=c^2,c) i input-feltet og tryk Enter.

Vi beregner omkredsen af trekanten ved at lægge længderne af siderne sammen. De to kateter har hver længden 1, og vi har lige beregnet, at hypotenusen har længden √2. Omkredsen er derfor 1 + 1 + √2.

3 + √3

Brug Pythagoras' sætning til at beregne længden af hypotenusen i den største trekant i figur 2.

Vi beregner længden af hypotenusen med Pythagoras' sætning:

1² + (√2)² = c²

c = √3

Hypotenusen er √3.

Vi beregner omkredsen af figur 2:

1 + 1 + 1 + √3 = 3 + √3

Omkredsen er 3 + √3.

I opg. 6.2 beregnede vi, at hypotenusen i trekanten på figur 1 har længden √2.

I figur 2 er hypotenusen i den mindste trekant en af kateterne i den største trekant. Den anden katete har længden 1.

Vi bruger Pythagoras' sætning til at beregne længden af hypotenusen i den største trekant:

1² + (√2)² = c²

Vi isolerer c i ligningen. Du kan fx løse ligningen med et CAS-værktøj. Du kan løse ligningen i GeoGebra™ ved at bruge CAS-vinduet. Skriv Løsninger(1^2+(√2)^2=c^2,c) i input-feltet og tryk Enter.

Vi beregner omkredsen af figur 2 ved at lægge længderne af siderne sammen. Figur 2 består af 3 sider med længden 1 og hypotenusen med længden √3. Omkredsen er derfor 1 + 1 + 1 + √3.

(Udtrykket er også et korrekt svar.)

Hver figur består af en række sider med længden 1 og en side, der er hypotenusen i en retvinklet trekant. Du kan fx opstille en tabel, hvor du tæller antallet af sider med længden 1, beregner længden af hypotenusen og beregner figurens omkreds for hver af de tre viste figurer.

Undersøg, hvilken sammenhæng der er mellem figurnummeret og omkredsen.

Omkredsen af figur n er

Vi opstiller en tabel:

Figurnr.	Antal sider med længden 1	Længden af hypotenusen	Samlet omkreds
1	2
2	3
3	4

Vi kan se, at antallet af sider med længden 1 er 1 større end figurnummeret. Dvs. at i figur n er der n + 1 sider med længden 1. Den samlede længde af siderne med længden 1 i figur n er derfor n + 1.

Hver figur har en side, der er hypotenusen i en retvinklet trekant. Længden af hypotenusen er kvadratroden af figurnummeret + 1. I figur n er længden af hypotenusen derfor .

Omkredsen af en figur er den samlede længde af alle siderne med længden 1 lagt sammen med længden af den side, der er hypotenusen i en trekant. Omkredsen af figur n er derfor

Figurnr.	Antal sider med længden 1	Længden af hypotenusen	Samlet omkreds
1	2
2	3
3	4
n	n + 1

Du kan tegne kvadrater, hvor siderne ligger på hjælpelinjerne, men du kan også tegne kvadrater, hvor siderne ikke ligger på hjælpelinjerne. Her er et eksempel:

Husk, at vinkelspidserne skal være i gitterpunkterne, og at du skal tegne kvadrater, dvs. at alle fire sider skal være lige lange, og vinklerne skal være rette.

Du kan lave tre forskellige kvadrater, hvor siderne ligger på hjælpelinjerne. De tre kvadrater har sidelængderne 2, 3 og 4, så arealerne er 4, 9 og 16.

Du kan også lave kvadrater, hvor siderne ikke ligger på hjælpelinjerne.

På figuren herover har vi tegnet et kvadrat, hvor siderne ikke ligger på hjælpelinjerne. Hver side i kvadratet er hypotenusen i en retvinklet trekant. Kateterne har hver længden 1. Vi bruger Pythagoras sætning til at beregne længden af hypotenusen:

1² + 1² = c²

c = √2

Længden af hypotenusen er √2, så kvadratet har sidelængden √2. Arealet af kvadratet er derfor 2.

Vi kan tegne tre andre kvadrater, hvor siderne ikke ligger på hjælpelinjerne. Sidelængderne er √5, √8 og √10, så arealerne er 5, 8 og 10.