Med hjælpemidler

Her finder du facit og vores løsninger til opgaverne i prøven med hjælpemidler fra Matematik FP9 3. maj 2018.

Indhold

Opgave 1 - 9. A planlægger en tur
Opgave 2 - Højder og længder
Opgave 3 - Fravær i 9. A
Opgave 4 - 9. A spiller et terningspil
Opgave 5 - Kvadrater og forhold
Opgave 6 - Punkter, grafer og funktioner

Opgave 1 - 9. A planlægger en tur

1.1

Du skal vise med beregning, at det i alt koster 3600 kr. for 24 elever at rappelle hos firmaet Friluftsliv.

Hint

Gang prisen pr. person (150 kr.) med antallet af elever (24).

Løsning

Vi beregner prisen for at 24 elever rappeller:

24 · 150 = 3600

Det koster 3600 kr. for 24 elever at rappelle.

Kommentar til løsningen

Det er vigtigt, at du ikke kun angiver facit, men at du også opstiller et regneudtryk:

24 · 150

1.2

Hvor mange penge skal hver elev betale?

Facit

48,50 kr.

Hint

Beregn først, hvor mange penge eleverne mangler ved at trække det opsparede beløb (2436 kr.) fra prisen (3600 kr.).

Løsning

Vi beregner, hvor mange penge eleverne mangler:

3600 - 2436 = 1164

Eleverne mangler 1164 kr.

Vi beregner, hvor mange penge hver elev skal betale:

1164 : 24 = 48,5

Hver elev skal betale 48,50 kr.

Kommentar til løsningen

Vi får oplyst, at eleverne har sparet 2436 kr. op. Vi trækker beløbet fra de 3600 kr., som eleverne skal betale og får, at eleverne mangler 1164 kr.

Vi får oplyst, at eleverne skal betale lige meget hver, så vi deler det manglende beløb (1164 kr.) med antallet af elever (24).

1.3

Du skal vise med beregning, at prisen uden 25 % moms er 150 kr.

Hint

Prisen uden 25% moms er 150 kr., hvis 150 kr. + moms tilsammen er 187,50 kr.

Løsning

Vi beregner 25% af 150 kr.:

150 · 0,25 = 37,5

25% moms af 150 kr. er 37,50 kr.

Vi lægger prisen sammen med momsen:

150 + 37,50 = 187,50

Hvis vi lægger 25% moms af 150 kr. til 150 kr., så får vi 187,50 kr., så 150 kr. er prisen uden moms.

Kommentar til løsningen

Prisen uden 25% moms er 150 kr., hvis

150 kr. + moms = 187,50 kr.

Momsen er 25%, så vi beregner 25% moms af 150 kr. Da 25% = 0,25, så beregner vi 25% af 150 kr. ved at gange 150 med 0,25. Momsen er 37,50 kr.

Vi lægger prisen på 150 kr. sammen med momsen på 37,50 kr. og får 187,50 kr. Da vi ved, at prisen med moms netop er 187,50 kr., så er prisen uden moms 150 kr.

1.4

Hvilke to af forslagene giver den rigtige pris uden moms? Du skal begrunde dit svar.

Facit

b) og c)

Hint

Sæt p = 187,50 ind i hvert udtryk.

Løsning

Vi ved, at når prisen med moms er 187,50 kr., så er prisen uden moms 150 kr. Vi benytter de fire udtryk til at beregne prisen uden moms:

187,50 - 0,25 \cdot 187,50 \approx 140,63

Forslag b) og c) giver den rigtige pris uden moms.

Kommentar til løsningen

Vi ved fra opg. 1.3, at hvis prisen med moms er 187,50 kr., så er prisen uden moms 150 kr. Vi kan derfor tjekke, hvilke forslag der giver den rigtige pris, ved at sætte p = 187,50 ind i udtrykkene. De forslag, der giver 150, giver den rigtige pris uden moms.

Opgave 2 - Højder og længder

2.1

Forklar, hvordan Mette kan vide, at vinkel B også er 45°, selv om hun ikke kan komme til at måle den.

Hint

Vinkelsummen i en trekant er 180°.

Løsning

Vinkelsummen i en trekant er 180°. Vi beregner vinkel B:

180° - 90° - 45° = 45°

Vinkel B er 45°.

Kommentar til løsningen

Vinkelsummen i en trekant er 180°, så

∠A + ∠B + ∠C = 180°

Vi får oplyst, at trekant ABC er retvinklet, dvs. at vinkel C er 90°. Mette har målt af vinkel A er 45°, så

45° + ∠B + 90° = 180°

Vi trækker 90° og 45° fra på begge sider af lighedstegnet og får så:

∠B = 180° - 90° - 45°

2.2

Har Mette ret? Du skal begrunde dit svar.

Facit

Mette har ret.

Hint

En trekant er ligebenet, når den har to lige store vinkler:

Løsning

Da vinkel A og vinkel B begge er 45°, så er trekant ABC ligebenet. Dermed er side a lige så lang som side b. Murens højde, a, svarer derfor til længden af linjestykket b.

Kommentar til løsningen

Vi beregnede i opg. 2.1, at vinkel B er 45°. Da vinkel A også er 45°, så har trekant ABC to lige store vinkler.

Da trekant ABC har to lige store vinkler, så er trekanten ligebenet. I en ligebenet trekant er to af siderne lige lange:

Siderne a og b i trekant ABC er derfor lige lange.

2.3

Du skal bruge Anders’ målinger til at finde ud af, hvor høj muren er.

Facit

26,47 m

Hint

I en retvinklet trekant er

$\tan(v) = \frac{\text{modst\aa ende katete}}{\text{hosliggende katete}}$

Løsning

Vi beregner længden af linjestykket d med tangens:

$\tan(54\degree) = \frac{d}{18} \quad \rightarrow \quad d=24,77$

Linjestykket d har længden 24,77 m.

Vi beregner murens højde:

24,77 + 1,70 = 26,47

Muren er 26,47 m høj.

Kommentar til løsningen

Vi får oplyst, at trekant DEF er retvinklet. I en retvinklet trekant er der følgende sammenhæng mellem en vinkel, v, og de to kateter:

$\tan(v) = \frac{\text{modst\aa ende katete}}{\text{hosliggende katete}}$

Dermed er

$\tan(\angle D) = \frac{d}{e}$

Vi får oplyst, at Anders stiller sig 18 m fra muren, dvs. at linjestykket e er 18 m langt. Vi får også oplyst, at Anders måler vinkel D til 54°, så

$\tan(54 \degree ) = \frac{d}{18}$

Du kan løse ligningen i et CAS-værktøj, fx GeoGebra™. Løs ligningen i GeoGebra ved at skrive Løsninger(tan(54°)=d/18,d) i CAS-vinduet og trykke på "≈".

Vi beregner, at linjestykket d har længden 24,77 m.

Da trekant DEF er hævet 1,70 m over jordhøjde, så lægger vi 1,70 m til længden af d for at få murens højde:

24,77 + 1,70

2.4

Har Mette eller Anders ret? Du skal begrunde dit svar.

Facit

Anders har ret.

Hint

I en retvinklet trekant er

$\begin{align*} \cos(v) = \frac{\text{hosliggende katete}}{\text{hypotenuse}} \\[1em] \sin(v) = \frac{\text{modst\aa ende katete}}{\text{hypotenuse}} \end{align}$

Løsning

Cosinus til vinklen på 54° er længden af den hosliggende katete delt med længden af hypotenusen, så

$\cos(54\degree) = \frac{18}{f}$

Sinus til vinklen er længden af den modstående katete delt med længden af hypotenusen:

$\sin(54\degree) = \frac{24,77}{f}$

Anders har ret.

Kommentar til løsningen

I en retvinklet trekant er

$\cos(v) = \frac{\text{hosliggende katete}}{\text{hypotenuse}}$

Dermed er

$\cos(\angle D) = \frac{e}{f}$

Anders står 18 m fra muren, så linjestykket e er 18 m langt. Vi får oplyst, at Anders måler vinkel D til 54°, så

$\cos(54 \degree ) = \frac{18}{f}$

Hvis vi skulle bruge sinus, så skulle vi have brugt den modstående katete:

$\sin(v) = \frac{\text{modst\aa ende katete}}{\text{hypotenuse}}$

Dermed er

$\cos(54 \degree ) = \frac{d}{f}$

Opgave 3 - Fravær i 9. A

3.1

Hvor mange dage har elev nr. 1 i alt haft fravær i de første 9 måneder af skoleåret?

Facit

3 dage

Hint

Læg elev nr. 1's fraværsdage i august - april sammen.

Løsning

Vi beregner elev nr. 1's samlede antal fraværsdage:

Klik på billedet for at se det i fuld størrelse.

Kommentar til løsningen

Vi beregner elev nr. 1's samlede antal fraværsdage ved at lægge elevens fravær i august - april sammen. Du kan se vores beregning herunder:

3.2

Hvor mange dage har eleverne i gennemsnit haft fravær i april måned?

Facit

1,3 dage

Hint

Du kan beregne et gennemsnit i Excel med formlen "=MIDDEL()".

Løsning

Vi beregner gennemsnittet af elevernes antal fraværsdage i april:

Kommentar til løsningen

Du kan se vores beregning herunder:

3.3

Forklar, hvorfor de to diagrammer ser forskellige ud, selv om de begge viser fravær i 9. A.

Hint

Du kan fx lægge mærke til:

Hvilken periode dækker diagrammerne?
Hvor skærer den lodrette akse den vandrette akse?
Hvilken inddeling er der på den lodrette akse?

Løsning

Lærernes diagram har ikke april-måned med, hvor fraværet var lavere end i marts.

På lærernes diagram skærer den lodrette akse den vandrette akse ved 10 i stedet for ved 0, hvilket får forskellen mellem søjlerne til at se større ud.

På lærernes diagram er den lodrette akse inddelt i intervaller à 5, mens Anders har lavet en inddeling i intervaller à 10. Samtidig er lærernes diagram højere end Anders', hvilket får udviklingen til at se større ud.

Kommentar til løsningen

Den lodrette akse skærer den vandrette akse ved 10 på lærernes diagram, hvilket gør, at højdeforskellen mellem søjlerne er større.

På lærernes diagram er den lodrette akse inddelt i intervaller à 5, og hele diagrammet er ca. dobbelt så højt som Anders' diagram, hvilket får forskellen mellem søjlerne til at se større ud.

3.4

Er du enig med eleverne i deres forudsigelse? Du skal begrunde dit svar.

Hint

Beregn elevernes gennemsnitlige antal fraværsdage i perioden august - april.

Løsning

Vi beregner det gennemsnitlige antal fraværsdage pr. elev og det gennemsnitlige antal fraværsdage pr. elev pr. måned for august - april:

I august - april har hver elev i gennemsnit haft 9,46 fraværsdage, hvilket svarer til 1,05 fraværsdag pr. elev pr. måned i gennemsnit.

Hvis eleverne fortsætter med samme mængde fravær, så vil de få 10,5 fraværsdage i gennemsnit fra august til maj. Vi er enige i elevernes forudsigelse.

Kommentar til løsningen

Vi beregner først hver elevs antal fraværsdag i perioden april - august. Derefter beregner vi fraværet i gennemsnit pr. elev og i gennemsnit pr. elev pr. måned. Du kan se beregningerne herunder:

Eleverne havde i gennemsnit 1,05 fraværsdage pr. måned. Perioden august - maj består af 10 måneder. Vi beregner elevernes gennemsnitlige antal fraværsdage i perioden august - maj, hvis eleverne fortsætter med samme mængde fravær:

10 · 1,05 = 10,5

Vi får oplyst, at folkeskoleelever i gennemsnit havde ca. 11 dages fravær i skoleåret 2015/2016. Da 10,5 < 11, så er vi enige i elevernes forudsigelse om, at de vil komme til at ligge under gennemsnittet på ca. 11 dage i skoleåret 2017/2018.

Opgave 4 - 9. A spiller et terningspil

4.1

Skriv eller tegn, hvilke forskellige kast der giver 7 point.

Facit

Rød terning	Hvid terning
2	5
3	4
4	3
5	2

Hint

Den røde terning kan vise 1 - 6. Hvad skal den hvide terning vise, for at summen er 7?

Husk, at eleverne får 0 point, hvis mindst én terning viser 1.

Løsning

Kast, der giver 7 point:

Rød terning	Hvid terning
2	5
3	4
4	3
5	2

Kommentar til løsningen

Vi ser på de mulige udfald af den røde terning. Derefter beregner vi, hvad den hvide terning skal vise, for at summen af øjnene på begge terninger er 7:

Rød terning	Hvid terning	Sum	Point
1	6	7	0
2	5	7	7
3	4	7	7
4	3	7	7
5	2	7	7
6	1	7	0

Hvis mindst én terning viser 1, så får eleverne 0 point, så hvis den ene terning viser 1, og den anden terning viser 6, så er summen 7, men eleverne får 0 point.

4.2

Undersøg, hvilke forskellige antal point eleverne kan få med et kast.

Facit

0, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 eller 12 point

Hint

Udfyld en tabel som nedenstående:

Hvid terning \ Rød terning	1	2	3	4	5	6
1
2
3
4
5
6

Løsning

Vi beregner antallet af point, eleverne kan få:

Hvid terning \ Rød terning	2	3	4	5	6
1	0	0	0	0	0
2	4	5	6	7	8
3	5	6	7	8	9
4	6	7	8	9	10
5	7	8	9	10	11
6	8	9	10	11	12

Eleverne kan få 0, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 eller 12 point.

Kommentar til løsningen

Vi udfylder tabellen på følgende måde:

Hvis mindst én af terninger viser 1, så skriver vi 0.
Hvis ingen af terningerne viser 1, så beregner vi summen af terningernes øjne.

4.3

Hvor stor er sandsynligheden for, at enten en af terningerne eller begge terninger viser 1 i et kast?

Facit

30,6%

Hint

I opg. 4.3 beregnede vi de forskellige antal point, eleverne kan få. Eleverne får 0 point, hvis mindst én af terningerne viser 1.

Løsning

I opg. 4.3 beregnede vi de forskellige antal point, eleverne kan få:

Hvid terning \ Rød terning	2	3	4	5	6
1	0	0	0	0	0
2	4	5	6	7	8
3	5	6	7	8	9
4	6	7	8	9	10
5	7	8	9	10	11
6	8	9	10	11	12

Vi tæller, at eleverne får 0 point i 11 ud af 36 tilfælde, dvs. at mindst én af terningerne viser 1 i 11 ud af 36 tilfælde.

Vi beregner 11/36:

11 : 36 ≈ 0,306

Sandsynligheden for at enten én af terningerne eller begge terninger viser 1 i et kast, er 30,6%.

Kommentar til løsningen

Vi beregner sandsynligheden med formlen:

$P(\text{mindst en terning viser 1}) = \frac{\text{antal kast, hvor mindst en terning viser 1}}{\text{antal kast i alt}}$

Der er 11 forskellige kast, hvor mindst én terning viser 1. Der er 36 forskellige kast i alt, så

$P(\text{mindst en terning viser 1}) = \frac{11}{36}$

Vi omregner 0,306 til procent ved at gange med 100:

0,306 = 30,6%

Opgave 5 - Kvadrater og forhold

5.1

Hvor stor er sidelængden i et kvadrat, der har omkredsen 15?

Facit

3,75

Hint

Alle siderne i et kvadrat har samme længde. Omkredsen er længden af alle siderne.

Løsning

Vi beregner sidelængden:

15 : 4 = 3,75

Sidelængden er 3,75.

Kommentar til løsningen

Omkredsen af et kvadrat er længden af alle fire sider tilsammen. Da alle fire sider er lige lange, så kan vi beregne sidelængden ved at dele omkredsen med 4.

5.2

Hvor stor er sidelængden i dette kvadrat?

Facit

3,87

Hint

Et kvadrat med sidelængden s har arealet s².

Løsning

Vi beregner sidelængden:

$\sqrt{15} \approx 3,87$

Sidelængden er 3,87.

Kommentar til løsningen

Et kvadrat med sidelængden s har arealet s². Vi skal bestemme sidelængden, s, når arealet er 15:

s² = 15

Dermed er

$s \approx \sqrt{15}$

5.3

Hvor stor er sidelængden i et kvadrat, der har arealet a?

Facit

$\sqrt{a}$

Hint

Benyt samme fremgangsmåde som i opg. 5.2.

Løsning

Et kvadrat med arealet a har sidelængden $\sqrt{a}$ .

Kommentar til løsningen

Vi benytter samme fremgangsmåde som i opg. 5.2.

Et kvadrat med sidelængden s har arealet s². Vi skal bestemme sidelængden, s, arealet er a:

s² = a

Dermed er

$s \approx \sqrt{a}$

5.4

Skriv forholdet mellem arealet af figur 1 og arealet af figur 2.

Facit

1:4

Hint

Beregn arealet af hver figur.

Løsning

Vi beregner arealet af hver figur:

Figur	Areal
1	1² = 1
2	2² = 4

Arealet af figur 1 er 1, og arealet af figur 2 er 4, så forholdet mellem arealerne er 1:4.

Kommentar til løsningen

Figurerne er kvadrater, så vi beregner arealet af hver figur ved at kvadrere sidelængden.

Forholdet er

arealet af figur 1 : arealet af figur 2

5.5

Undersøg, om det aldrig gælder, nogle gange gælder eller altid gælder, at forholdet mellem kvadraters arealer er 1:9, hvis forholdet mellem deres sidelængder er 1:3. Du skal begrunde dit svar.

Facit

Det gælder altid.

Hint

Kald sidelængden i det lille kvadrat for s. Da forholdet mellem sidelængderne er 1:3, så er sidelængden i det store kvadrat 3s.

Beregn arealet af hvert kvadrat:

Sidelængde	Areal
s
3s

Løsning

Vi kalder sidelængden i det lille kvadrat for s. Da forholdet mellem sidelængderne er 1:3, så er sidelængden i det store kvadrat 3s.

Vi beregner arealet af hvert kvadrat:

Sidelængde	Areal
s	s²
3s	(3s)² = 9s²

Forholdet mellem arealerne er 1:9, så det gælder altid, at forholdet mellem kvadraters arealer er 1:9, hvis forholdet mellem deres sidelængder er 1:3.

Kommentar til løsningen

Vi forestiller os to kvadrater, hvor forholdet mellem sidelængderne er 1:3. Hvis det lille kvadrat har sidelængden s, så er sidelængden i det store kvadrat 3 gange så stor, dvs. at sidelængden er 3s.

Vi beregner arealet af hvert kvadrat ved at kvadrere sidelængden.

Arealet af det lille kvadrat er s², og arealet af det store kvadrat er 9s². Forholdet mellem arealerne er altså 1:9. Da vi ikke har brugt konkrete tal, men har regnet med ukendte sidelængder, så gælder påstanden altid.

Opgave 6 - Punkter, grafer og funktioner

6.1

Hvilke tal skal der stå i de tomme felter i tabellen?

Facit

(8,20)

Hint

Førstekoordinaterne vokser med 2 for hver kolonne. Hvor meget vokser andenkoordinaterne med?

Løsning

Førstekoordinaten er 8.

Andenkoordinaten er 20.

Kommentar til løsningen

Vi kan se, at førstekoordinaterne vokser med 2 for hver kolonne, så der skal stå 8 (= 6 + 2) i det tomme felt.

Vi kan også se, at andenkoordinaterne vokser med 5 for hver kolonne, så der skal stå 20 (= 15 + 5) i det tomme felt.

6.2

Beskriv denne sammenhæng.

Hint

Hvor mange gange større er andenkoordinaten end førstekoordinaten?

Løsning

Andenkoordinaten er 2,5 gang større end førstekoordinaten.

Kommentar til løsningen

Vi kan se, at hvis vi ganger førstekoordinaten med 2,5, så får vi andenkoordinaten:

2,5 · 2 = 5

2,5 · 4 = 10

2,5 · 6 = 15

Bemærk: Sammenhængen kan beskrives på mange måder. Vores løsning er derfor kun én blandt flere korrekte løsninger. En anden mulig løsning er:

Hvis vi ganger andenkoordinaten med 0,4, så får vi førstekoordinaten.

6.3

Undersøg, om denne graf kan være en ret linje. Du skal begrunde dit svar.

Facit

Grafen kan være en ret linje.

Hint

Punkterne ligger på grafen for en funktion på formen f(x) = a · x.

Løsning

Da andenkoordinaten er 2,5 gang større end førstekoordinaten, så ligger alle tre punkter på grafen for funktionen f(x) = 2,5x.

Funktionen f(x) = 2,5x er en lineær funktion, så grafen for f er en ret linje.

Grafen, som de tre punkter ligger på, kan være en ret linje.

Kommentar til løsningen

I opg. 6.2 fandt vi, at hvis vi ganger førstekoordinaten med 2,5, så får vi andenkoordinaten. Punkterne ligger på grafen for funktionen f(x) = 2,5x, da alle punkter på grafen for f opfylder, at andenkoordinaten er 2,5 gang større end førstekoordinaten.

Grafen for en lineær funktion er en ret linje.

6.4

Giv to eksempler på forskrifter for funktioner, der har grafer, som går igennem (0,0) i et koordinatsystem.

Hint

Grafen for funktionen f(x) = a · x + b går gennem punktet (0,b).

Løsning

g(x) = 5x

h(x) = -2x

Kommentar til løsningen

Grafen for funktionen f(x) = a · x + b går gennem punktet (0,b). Hvis b = 0, så går grafen derfor gennem punktet (0,0). Funktioner med forskrifter på formen f(x) = a · x går altså gennem punktet (0,0). I vores eksempler har vi valgt a = 5 og a = -2.

Bemærk: Opgaven har mange løsninger. Vores løsning er derfor kun én blandt flere korrekte løsninger.

6.5

Giv et eksempel på en anden situation, som funktionen f (x) = 5x kan beskrive. Dit eksempel må ikke handle om sammenhæng mellem antal timer og antal kilometer.

Hint

Hvis en vare koster 5 kr., så er prisen (i kr.) for x varer 5x.

Løsning

Funktionen f(x) = 5x kan beskrive sammenhængen mellem antallet af købte kager, x, og den samlede pris (i kr.) for kagerne, f(x), hvis prisen pr. kage er 5 kr.

Kommentar til løsningen

Hvis en kage koster 5 kr., så kan vi bestemme prisen (i kr.) for flere kager ved at gange antallet af kager med 5. Prisen (i kr.) for x kager er derfor 5x.

Funktionen f(x) = 5x beskriver derfor den samlede pris (i kr.) for x kager, når prisen pr. kage er 5 kr.

Bemærk: Opgaven har mange løsninger. Vores løsning er derfor kun én blandt flere korrekte løsninger.

a)	$187,50 - 0,25 \cdot 187,50 \approx 140,63$

b)	$187,50 - 0,20 \cdot 187,50 = 150$

c)	$\frac{187,50}{1,25} = 150$

d)	$187,50 \cdot 0,75 \approx 140,625$