Uden hjælpemidler

Her finder du facit og vores løsninger til opgaverne i prøven uden hjælpemidler fra Matematik FP9 2. december 2020.

Du kan få hjælp til at løse en lang række af opgaverne i vores vejledning til FP9 færdighedsregning.

Indhold

Opgave 1
Opgave 2
Opgave 3
Opgave 4
Opgave 5
Opgave 6
Opgave 7
Opgave 8
Opgave 9
Opgave 10
Opgave 11
Opgave 12
Opgave 13
Opgave 14
Opgave 15
Opgave 16
Opgave 17
Opgave 18
Opgave 19
Opgave 20

Opgave 1

1.1

Hvor stor er forskellen mellem prisen for en standardbillet til et barn og en onlinebillet til et barn?

Facit

11 kr.

Hint

Træk prisen for en onlinebillet fra prisen for en standardbillet.

Løsning

Vi aflæser, at en standardbillet til et barn koster 75 kr., og at en onlinebillet til et barn koster 64 kr.

Vi beregner forskellen mellem priserne ved at trække prisen for en onlinebillet fra prisen for en standardbillet:

75 - 64 = 11

Forskellen mellem priserne er 11 kr.

1.2

Hvad koster 2 onlinebilletter til børn og 2 cykelbilletter i alt?

Facit

170 kr.

Hint

Beregn prisen for 2 onlinebilletter til børn.

Beregn prisen for 2 cykelbilletter.

Løsning

Vi aflæser, at en onlinebillet til et barn koster 64 kr., og at en onlinebillet til en cykel koster 21 kr.

Vi beregner prisen for 2 onlinebilletter til børn:

2 · 64 = 128

Vi beregner prisen for 2 cykelbilletter:

2 · 21 = 42

Vi beregner prisen for onlinebilletter til 2 børn og 2 cykler:

128 + 42 = 170

Billetterne koster 170 kr.

1.3

Hvad er prisen for en standardbillet til et barn, der er købt 3 uger, før man skal bruge den?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om procent.

Facit

60 kr.

Hint

Beregn rabatten ved at beregne 20% af prisen på en standardbillet.

Løsning

Vi får oplyst, at man sparer 20% på en standardbillet, når den købes 3 uger før, den skal bruges. Vi beregner rabatten:

$\begin{align*} &&0,2 \cdot \overset{1}{7}5 \\ \hline && 15,0 \\ && 00,0 \\ \hline && 15,0 \end{align}$

Rabatten er 15 kr. Vi beregner prisen fratrukket rabatten:

75 - 15 = 60

En standardbillet til et barn, der er købt, 3 uger før man skal bruge den, koster 60 kr.

Opgave 2

2.1

Hvor mange gram kartofler skal Mikkel bruge til suppe til 16 personer?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om opskrifter.

Facit

2000 g

Hint

Beregn, hvor mange portioner supper, Mikkel skal lave (1 portion giver suppe til 4 personer).

Løsning

Mikkels ingrediensliste giver suppe til 4 personer, så Mikkel skal lave 4 portioner suppe for at have nok til 16 personer.

Vi aflæser, at der skal bruges 500 g kartofler til 1 portion. Vi beregner, hvor mange gram kartofler der skal bruges til 4 portioner:

4 · 500 = 2000

Mikkel skal bruge 2000 g kartofler.

2.2

Hvor mange personer kan Mikkel højst koge suppe til, hvis han har 2½ dL piskefløde?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om opskrifter.

Facit

10 personer

Hint

Beregn, hvor mange portioner suppe Mikkel kan lave (1 portion giver suppe til 4 personer).

Løsning

Vi aflæser, at Mikkel skal bruge 1 dL piskefløde til 1 portion suppe. Vi får oplyst, at Mikkel har 2½ dL piskefløde. Han kan derfor lave 2½ portion suppe.

1 portion suppe er til 4 personer, så

½ portion er til 2 personer
2 portioner er til 8 personer

2½ portion suppe giver dermed suppe til 10 personer.

2.3

Hvor meget bouillon skal Mikkel bruge til suppe til 6 personer?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om opskrifter.

Facit

9/8 L

( $1 \tfrac{1}{8}$ L er også et korrekt svar.)

Hint

Beregn, hvor mange portioner suppe Mikkel skal lave (1 portion giver suppe til 4 personer).

Løsning

Vi aflæser, at Mikkel skal bruge ¾ L bouillon til 1 portion suppe, dvs. til 4 personer.

Mikkel skal bruge halvt så meget bouillon til ½ portion, dvs. til 2 personer:

$\begin{align*} \frac{3}{4} : 2 &= \frac{3}{4 \cdot 2} \\[1em] &= \frac{3}{8} \end{align}$

Vi beregner, hvor meget bouillon Mikkel skal bruge til 1½ portion suppe, dvs. til 6 personer:

$\begin{align*} \frac{3}{4} + \frac{3}{8} &= \frac{6}{8} + \frac{3}{8} \\[1em] &= \frac{9}{8} \end{align}$

Mikkel skal bruge 9/8 L bouillon til suppe til 6 personer.

Opgave 3

3.1

Hvor stor er Mikkels gennemsnitsfart?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om gennemsnitsfart.

Facit

20 km/t

Hint

Beregn, hvor langt Mikkel kan cykle på 1 t, hvis han fastholder samme gennemsnitsfart.

Løsning

Vi får oplyst, at Mikkel cykler 5 km på 15 minutter:

Antal minutter	Antal km
15	5
30	10
60	20

Mikkels fart svarer til 20 km på 60 minutter, dvs. 20 km/t.

3.2

Hvor langt cykler Luna på 40 minutter?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om gennemsnitsfart.

Facit

12 km

Hint

Beregn, hvor langt Luna cykler på 20 min., og derefter hvor langt Luna cykler på 40 min.

Løsning

Vi får oplyst, at Luna cykler med en gennemsnitsfart på 18 km/t:

Tid (i min.)	Afstand (i km)
60	18
20	6
40	12

Luna cykler 12 km på 40 min.

Opgave 4

4.1

Hvor meget sodavand får de hver?

Facit

0,25 L

(1/4 L er også et korrekt svar.)

Hint

Del 0,5 L med 2.

Løsning

Vi beregner, hvor meget sodavand de får hver:

0,5 : 2 = 0,25

De får 0,25 L hver.

4.2

Hvor meget mere er der i Sofies sodavand end i Jasmins sodavand?

Facit

0,75 L

(3/4 L er også et korrekt svar.)

Hint

Træk mængden af sodavand i Jasmins flaske fra mængden af sodavand i Sofies flaske.

Løsning

Vi beregner forskellen mellem indholdet i de to flasker med sodavand:

$\begin{align*} && \cancel{1},\overset{1}{2}5 \\ && - \0,50 \\ \hline && 0,75 \end{align}$

Hint

Træk 9 fra på begge sider af lighedstegnet. Del derefter med 5 på begge sider af lighedstegnet.

Løsning

Vi opskriver ligningen:

5x + 9 = 34

Vi trækker 9 fra på begge sider af lighedstegnet:

$5x + 9 {\color{NavyBlue} \ - \ 9 } = 34 {\color{NavyBlue} \ - \ 9 }$

Vi får så:

5x = 25

Vi deler med 5 på begge sider af lighedstegnet:

$\frac{5x}{{\color{NavyBlue}5}} = \frac{25}{{\color{NavyBlue}5}}$

Vi får så:

x = 5

6.2

Løs ligningen 3x + 4 = 6x – 5.

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om ligninger.

Facit

x = 3

Hint

Læg 5 til på begge sider af lighedstegnet. Træk derefter 3x fra på begge sider. Del til sidst med 3 på begge sider af lighedstegnet.

Løsning

Vi opskriver ligningen:

3x + 4 = 6x - 5

Vi lægger 5 til på begge sider af lighedstegnet:

$3x + 4 {\color{NavyBlue} \ + \ 5} = 6x - 5{\color{NavyBlue} \ + \ 5}$

Vi får så:

3x + 9 = 6x

Vi trækker 3x fra på begge sider af lighedstegnet:

$3x + 9 {\color{NavyBlue}\ - \ 3x} = 6x{\color{NavyBlue}\ - \ 3x}$

Vi får så:

9 =3x

Vi deler med 3 på begge sider af lighedstegnet:

$\frac{9}{{\color{NavyBlue}3}} = \frac{3x}{{\color{NavyBlue}3}}$

Vi får så:

3 = x

6.3

Løs ligningen $\frac{6x}{4} + 1 = 4.$

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om ligninger.

Facit

x = 2

Hint

Træk 1 fra på begge sider af lighedstegnet. Gang derefter med 4 på begge sider af lighedstegnet. Del til sidst med 6 på begge sider af lighedstegnet.

Løsning

Vi opskriver ligningen:

$\frac{6x}{4} + 1 = 4$

Vi trækker 1 fra på begge sider af lighedstegnet:

$\frac{6x}{4} + 1 {\color{NavyBlue}\ - \ 1} = 4{\color{NavyBlue}\ - \ 1}$

Vi får så:

$\frac{6x}{4} = 3$

Vi ganger med 4 på begge sider af lighedstegnet:

$\frac{6x}{4} {\color{NavyBlue} \ \cdot \ 4} = 3 {\color{NavyBlue} \ \cdot \ 4}$

Vi får så:

6x = 12

Vi deler med 6 på begge sider af lighedstegnet:

$\frac{6x}{{\color{NavyBlue}6}} = \frac{12}{{\color{NavyBlue}6}}$

Vi får så:

x = 2

Opgave 7

7.1

Skriv det decimaltal, der er dobbelt så stort som 1,51.

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om decimaltal.

Facit

3,02

Hint

Gang 1,51 med 2.

Løsning

Vi ganger 1,51 med 2:

$\begin{align*} &&2 \cdot \overset{1}1,51 \\ \hline &&3,02 \end{align}$

7.2

Skriv 6% som decimaltal.

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om procent.

Facit

0,06

Hint

Vi omskriver et procenttal til et decimaltal ved at fjerne procenttegnet og rykke kommaet to pladser mod venstre.

7.3

Skriv en brøk, der er halvt så stor som 3/5.

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om brøker.

Facit

3/10

(En anden brøk, der kan forkortes til 3/10, er også et korrekt svar.)

Hint

Del 3/5 med 2.

Løsning

Vi deler 3/5 med 2:

$\begin{align*} \frac{3}{5} : 2 &= \frac{3}{5 \cdot 2} \\[1em] &= \frac{3}{10} \end{align}$

$\begin{align*} (-2)^3 + 3^2 &= (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) + 3^2 \\[1em] &= 4 \cdot (-2) + 3^2 \\[1em] &= -8 + 3^2 \\[1em] &= -8 + 9 \\[1em] &= 1 \end{align}$

8.4

Regn stykket 1/2 + 1/3.

Facit

$\frac{5}{6}$

(En anden brøk, der kan forkortes til 5/6, er også et korrekt svar.)

Hint

Forlæng begge brøker, så de får samme nævner.

Løsning

Vi forlænger brøkerne, så vi kan lægge dem sammen:

$\begin{align*} \frac{1}{2} + \frac{1}{3} &= \frac{3}{6} + \frac{2}{6} \\[1em] &= \frac{5}{6} \end{align}$

Opgave 9

9.1

Hvilket udtryk svarer til arealet af sekskanten for alle værdier af a og b?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om omkreds og areal.

Facit

(a + b)² - ab

Hint

Du kan tilføje nogle hjælpelinjer til figuren:

Løsning

Vi har tilføjet to (stiplede) linjer. Figuren består nu af sekskanten og et rektangel, der tilsammen udgør en stor firkant.

Den store firkant er et kvadrat med sidelængden a + b. Vi kan beregne arealet af sekskanten ved at trække arealet af rektanglet fra arealet af kvadratet.

Arealet af kvadratet er (a + b)².

Arealet af rektanglet er a · b.

Arealet af sekskanten er dermed (a + b)² - a · b, dvs.

(a + b)² - ab

Opgave 10

10.1

8 : 0,5

Facit

Hint

Vi deler med en brøk ved at gange med den omvendte.

Løsning

$\begin{align*} 8:0,5 &= 8 : \frac{1}{2} \\[1em] &= 8 \cdot \frac{2}{1} \\[1em] &= 8 \cdot 2 \\[1em] &= 16 \end{align}$

10.2

0,6 : 5

Facit

0,12

Løsning

Opgave 11

11.1

Rumfanget af kassen er?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om rumfanget af et prisme.

Facit

Hint

Rumfanget V af en kasse med længden l, bredden b og højden h kan beregnes med formlen

V = l · b · h

Løsning

Vi beregner rumfanget af kassen ved at gange længden (4), bredden (3) og højden (3):

$\begin{align*} 4 \cdot 3 \cdot 3 &= 12 \cdot 3 \\[1em] &= 36 \end{align}$

Rumfanget af kassen er 36.

11.2

Overfladearealet af kassen er?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om overfladearealet af et prisme.

Facit

Hint

Kassens seks sider er firkantede. Beregn arealet af hver firkant og læg alle arealerne sammen.

Løsning

Vi beregner arealet af kassens bund:

3 · 4 = 12

Arealet af bunden er 12. Toppen er lige så stor som bunden, så arealet af toppen er også 12.

Vi beregner arealet af forsiden:

3 · 4 = 12

Arealet af forsiden er 12. Bagsiden er lige så stor som forsiden, så arealet af bagsiden er også 12.

Vi beregner arealet af den ene side:

3 · 3 = 9

Arealet af den ene side er 9. Siderne er lige store, så arealet af den anden side er også 9.

Vi beregner det samlede overfladeareal:

$\begin{align*} 2 \cdot 12 + 2 \cdot 12 + 2 \cdot 9 &= 24 + 24 + 18 \\[1em] &= 48 + 18 \\[1em] &= 66 \end{align}$

Overfladearealet af kassen er 66.

Opgave 12

12.1

Hvor stor er vinkel v?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om vinkler.

Facit

85°

Hint

Vinkelsummen i en trekant er 180°.

Nabovinkler er 180° tilsammen:

Løsning

De to unavngivne linjer og linjen l afgrænser en trekant, hvor to af vinklerne er 54° og 31°.

Vinkelsummen i en trekant er 180°. Vi beregner den sidste vinkel u:

$\begin{align*} u &= 180\degree - 54\degree - 31\degree \\[1em] &= 126\degree - 31\degree \\[1em] &= 95\degree \end{align}$

Den sidste vinkel, u, i trekanten er 95°.

Vinkel u og vinkel v er nabovinkler. Nabovinkler er 180° tilsammen. Vi beregner vinkel v:

$\begin{align*} v &= 180\degree - 95\degree \\[1em] &= 85\degree \end{align}$

Vinkel v er 85°.

12.2

Hvor stor er vinkel w?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om vinkler.

Facit

54°

Hint

Topvinkler er lige store:

Ensliggende vinkler ved parallelle linjer er lige store:

Løsning

Vinkel t og vinklen på 54° er topvinkler, dvs. at de er lige store. Vinkel t er derfor også 54°.

Da linje l og linje m er parallelle, så er vinkel t og vinkel w ensliggende vinkler ved parallelle linjer. Ensliggende vinkler ved parallelle linjer er lige store, så vinkel t og vinkel w er lige store. Da vinkel t er 54°, så er vinkel w også 54°.

Opgave 13

13.1

Linjen s skærer y-aksen i punktet?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om koordinatsystemer.

Facit

(0,5)

Hint

y-aksen er den lodrette akse. Da skæringspunktet ligger på y-aksen, så er førstekoordinaten 0.

Arealet af firkant ABCD er hvor mange gange så stort som arealet af firkant AEFG?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om ligedannede figurer.

Facit

Hint

Undersøg, hvor mange kopier af den lille firkant, der kan placeres i den store firkant.

Løsning

Siderne i den store firkant ABCD er 3 gange så lange, som siderne i den lille firkant AEFG. Vi kan derfor placere den lille firkant 3 gange ved siden af hinanden på hver led i den store firkant.

Arealet af den store firkant AEFG er 9 gange så stort som arealet af den lille firkant ABCD.

Opgave 15

15.1

Omskriv 0,73 kg.

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om omregning af enheder.

Facit

730 g

Hint

1 kg er 1000 g.

Løsning

1 kg er 1000 g, så vi omskriver 0,73 kg til g ved at gange med 1000:

0,73 · 1000 = 730

0,73 kg er 730 g.

15.2

Omskriv 2150 mm.

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om omregning af enheder.

Facit

2,15 m

Hint

1 cm er 10 mm.

1 m er 100 cm.

Løsning

1 cm er 10 mm, så vi omskriver 2150 mm til cm ved at dele med 10:

2150:10 = 215

2150 mm er 215 cm.

1 m er 100 cm, så vi omskriver 215 cm til m ved at dele med 100:

215:100 = 2,15

2150 mm er 2,15 m.

15.3

Omskriv 1,25 L .

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om omregning af enheder.

Facit

12,5 dL

Hint

1 L er 10 dL.

Løsning

1 L er 10 dL, så vi omskriver 1,25 L til dL ved at gange med 10:

1,25 · 10 = 12,5

1,25 L er 12,5 dL.

15.4

Omskriv 2,5 m³.

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om omregning af enheder.

Facit

2500 L

Hint

1 m³ er 1000 dm³.

1 dm³ er 1 L.

Løsning

1 m³ er 1000 dm³, så vi omskriver 2,5 m³ til dm³ ved at gange med 1000:

2,5 · 1000 = 2500

2,5 m³ er 2500 dm³.

1 dm³ er 1 L, så 2500 dm³ er 2500 L. Det vil sige, at 2,5 m³ = 2500 L.

Opgave 16

16.1

Højden i trapezet er?

Facit

Hint

Sæt arealet af trapezet og længden af de parallelle sider ind i formlen, og beregn højden.

Løsning

Vi får oplyst, at arealet af trapezet er 8. Vi aflæser på figuren, at længderne af de parallelle sider i trapezet er hhv. 3 og 5.

Vi får givet formlen for arealet af et trapez i den gule boks. Vi sætter tallene ind i formlen:

$8 = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (3 + 5)$

Vi får så:

$8 = \frac{1}{2} \cdot h \cdot 8$

Da $\tfrac{1}{2} \cdot 8 = 4$ , så får vi:

$8 = 4\cdot h$

Vi deler med 4 på begge sider af lighedstegnet:

2 = h

Højden i trapezet er 2.

16.2

Rumfanget af prismet er?

Du kan se flere opgaver af den her type, og hvordan vi løser dem, i vores vejledning til opgaver om rumfanget af et prisme.

Facit

Hint

Beregn rumfanget af prismet ved at gange arealet af grundfladen med længden af prismet.

Løsning

Vi beregner rumfanget af prismet ved at gange arealet af grundfladen (trapezet) med længden af prismet.

Vi får oplyst, at arealet af grundfladen (trapezet) er 8. Vi aflæser på figuren, at længden af prismet er 8.

Vi beregner rumfanget:

8 · 8 = 64

Rumfanget af prismet er 64.

Opgave 17

17.1

Hvilken trekant er ligesidet?

Facit

Hint

En trekant er ligesidet, hvis alle siderne er lige lange.

Løsning

Alle vinklerne i trekant B er 60°, så alle siderne i trekant B er lige lange. Trekant B er derfor ligesidet.

Opgave 18

18.1

Hvilket diagram passer med tabellen?

Facit

Diagrammet med de blå søjler.

Hint

Undersøg, ca. hvor stor en andel af eleverne, der har 1 tv-skærm, hvor de bor.

Løsning

Vi beregner det samlede antal elever:

3 + 12 + 8 + 2 + 1 = 26

Vi aflæser, at der er 12 elever, der har 1 tv-skærm, hvor de bor. 12 ud af 26 er lidt under halvdelen, dvs. at lidt under 50% af eleverne har 1 tv-skærm, hvor de bor.

Vi kan se, at søjlen over "1" er lidt under 50% på figuren med de blå søjler. Det er derfor diagrammet med de blå søjler, der passer med tabellen.

Opgave 19

19.1

Elevernes højder varierer mellem 156 cm og?

Facit

195

Hint

Tallene ved boksplottets "antenner" er den mindste og største højde blandt eleverne.

19.2

Hvor mange procent af eleverne er mellem 169 cm og 180 cm høje?

Facit

50%

Hint

50% af observationerne er mellem nedre kvartil og øvre kvartil.

Løsning

Vi aflæser, at 169 er den nedre kvartil.

Vi aflæser, at 180 er den øvre kvartil.

50% af observationerne er mellem nedre kvartil og øvre kvartil, så 50% af eleverne er mellem 169 cm og 180 cm høje.

19.3

75% af eleverne er mindst?

Facit

169 cm

Hint

75% af eleverne er højere end den nedre kvartil.

Løsning

Vi aflæste i opg. 19.2, at den nedre kvartil er 169 cm. Dermed er 75% af eleverne mindst 169 cm høje.

Opgave 20

20.1

Sandsynligheden for, at den røde terning viser 2, er?

Facit

1/3

(0,333 er også et korrekt svar.)

Hint

Du kan beregne sandsynligheden med formlen

$\frac{\text{antal gunstige udfald (sider, hvor der st\aa r 2)}}{\text{antal mulige udfald (sider i alt)}}$

Løsning

Der er to 2-taller på den røde terning. Sandsynligheden for, at den røde terning viser 2, er derfor

$\frac{2}{6}$

Vi kan forkorte brøken til

$\frac{1}{3}$

20.2

Sandsynligheden for, at summen bliver 33, er?

Facit

1/9

(0,111 er også et korrekt svar.)

Hint

Du kan tegne et chancetræ:

Løsning

Her er et chancetræ:

Summen bliver 33, når den blå terning viser 30, og den røde terning viser 3.

Vi kan se, at sandsynligheden for, at den blå terning viser 30, er 1/3, og at sandsynligheden for, at den røde terning viser 3, er 1/3.

Sandsynligheden for, at summen bliver 33, er dermed:

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$

20.3

Sandsynligheden for, at summen bliver større end 20, er?

Facit

2/3

(0,666 er også et korrekt svar.)

Hint

Summen bliver over 20, hvis den blå terning viser 20 eller 30 - uanset hvad den røde terning viser.

Løsning

Her er et chancetræ:

Summen bliver over 20, hvis den blå terning viser 20 eller 30 - uanset hvad den røde terning viser. Sandsynligheden for, at summen bliver større end 20, er derfor den samme som sandsynligheden for, at den blå terning viser 20 eller 30.

Sandsynligheden for, at den blå terning viser 20 eller 30, er:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$