Med hjælpemidler

Her finder du facit og vores løsninger til opgaverne i prøven med hjælpemidler fra Matematik FP9 4. maj 2021.

Indhold

Opgave 1 - Køb af en elscooter
Opgave 2 - Med svævebane
Opgave 3 - Flyttekasser i trailer
Opgave 4 - Cykelbude
Opgave 5 - Biler, fart og CO2-udledning
Opgave 6 - Regneopskrifter
Opgave 7 - Symmetriakser i firkanter

Opgave 1 - Køb af en elscooter

1.1

Hvor mange penge koster den grønne elscooter mere end den hvide elscooter?

Facit

2359 kr.

Hint

Beregn forskellen mellem priserne.

Løsning

Vi beregner forskellen mellem prisen på den grønne elscooter og prisen på den hvide elscooter:

12348 - 9989 = 2359

Den grønne elscooter koster 2359 kr. mere end den hvide elscooter.

Kommentarer til løsningen

Det er vigtigt, at du ikke kun angiver facit, men at du også opstiller et regneudtryk:

12348 - 9989

1.2

Hvad koster den sorte elscooter på tilbud?

Facit

16998,30 kr.

Hint

Beregn, hvor meget prisen på den sorte elscooter er sat ned, ved at beregne 15% af 19998 kr.

Løsning

Vi beregner, hvor meget prisen på den sorte elscooter er sat ned:

19998 · 0,15 = 2999,7

Prisen på den sorte elscooter er sat ned med 2999,70 kr.

Vi beregner tilbudsprisen:

19998 - 2999,7 = 16998,3

Den sorte elscooter koster 16998,30 kr. på tilbud.

Kommentarer til løsningen

Vi får oplyst, at prisen på den sorte elscooter er sat ned med 15%. Vi bestemmer derfor 15% af den oprindelige pris på 19998 kr. Vi trækker rabatten fra den oprindelige pris for at få tilbudsprisen.

1.3

Hvor meget kommer Isabell til at betale i alt, hvis de aftaler, at hun bruger 24 måneder på afbetalingen?

Facit

13539 kr.

Hint

Beregn, hvor meget Isabell skal betale i månedlige gebyrer, når hun skal betale 33 kr. hver måned i 24 måneder. Læg de månedlige gebyrer sammen med engangsgebyret og prisen for elscooteren.

Løsning

Vi beregner, hvor meget Isabell skal betale i månedlige gebyrer:

24 · 33 = 792

Isabell skal betale 792 kr. i månedlige gebyrer.

Vi beregner Isabells samlede pris ved at lægge engangsgebyret sammen med de månedlige gebyrer og prisen for scooteren:

399 + 792 + 12348 = 13539

Isabell kommer til at betale 13539 kr. i alt.

Kommentarer til løsningen

Isabell skal betale et engangsgebyr, 24 månedlige gebyrer på 33 kr. hver og prisen for selve scooteren.

Vi beregner, hvor meget Isabell skal betale i alt i månedlige gebyrer, og derefter lægger vi resultatet sammen med engangsgebyret og prisen for elscooteren.

1.4

Hvor få måneder kan Isabell nøjes med at bruge til at betale elscooteren, hvis hun kan betale 400 kr. om måneden ud over engangsgebyret?

Facit

34 måneder

(Hvis du regner engangsgebyret med i udregningerne, så skal Isabell betale af på elscooteren i 35 måneder. Opgaven kan også forståes sådan, at Isabell har 400 kr. om måneden til at betale af på selve elscooteren. Facit er i så fald 31 måneder. Både 31 og 35 godtages som korrekt facit.)

Hint

Beregn, hvor mange penge Isabell har hver måned til at betale af på elscooteren, når hun skal betale 33 kr. i månedligt gebyr. Beregn derefter, hvor mange måneder Isabell skal bruge for at betale for elscooteren.

Løsning

Vi beregner, hvor mange penge Isabell har til at betale for selve scooteren:

400 - 33 = 367

Isabell har 367 kr. pr. måned til at betale for scooteren.

Vi beregner, hvor mange måneder det tager Isabell at betale for scooteren:

12348/367 ≈ 33,64578

Isabell kan nøjes med at bruge 34 måneder til at betale elscooteren.

Kommentarer til løsningen

Isabell har råd til at betale 400 kr. om måneden. De 33 kr. går til at betale det månedlige gebyr. Vi beregner først, at Isabell har 367 kr. til at betale for selve scooteren.

Elscooteren koster 12348 kr., så vi deler 12348 med 367 for at finde ud af, hvor længe Isabell skal bruge på at betale af på scooteren.

Vi ser bort fra engangsgebyret, da der står i opgaven, at Isabell har 400 kr. om måneden ud over engangsgebyret.

Vi afrunder resultatet til 34 måneder, da Isabell skal betale af på elscooteren et helt antal måneder.

Opgave 2 - Med svævebane

2.1

Du skal vise med beregning, at turen til mellemstationen udgør 1/3 af hele turen med svævebanen.

Hint

Beregn først længden af hele turen med svævebanen.

Løsning

Vi beregner længden af hele turen med svævebanen:

1660 + 830 = 2490

Hele turen med svævebanen er 2490 m lang.

Vi beregner, hvor stor en del turen til mellemstationen udgør:

830/2490 = 1/3

Turen til mellemstationen udgør 1/3 af hele turen med svævebanen.

Kommentarer til løsningen

Vi aflæser på figuren, at turen fra svævebanens bund til mellemstationen er 830 m, og at turen fra mellemstationen til svævebanens top er 1660 m.

Vi bestemmer længden af hele turen med svævebanen ved at lægge de to længder sammen.

Vi bestemmer derefter, hvor stor en del turen til mellemstationen udgør, ved at dele længden af turen til mellemstationen med længden af hele turen med svævebanen.

2.2

Hvor mange meter ligger mellemstationen højere end svævebanens bund?

Facit

376,81 m.

Hint

Se på de retvinklede trekanter på figuren. Brug formlen:

$\sin(v) = \frac{\text{modst\aa ende katete}}{\text{hypotenuse}}$

Løsning

Vi beregner mellemstationens højde over svævebanens bund:

sin⁡(27) · 830 ≈ 376,8121

Mellemstationen ligger 376,81 m højere end svævebanens bund.

Kommentarer til løsningen

Vi kan se på figuren, at mellemstationen og svævebanens bund er to af hjørnerne i en retvinklet trekant:

I en retvinklet trekant er sinus til en vinkel lig med den modstående katete delt med hypotenusen:

$\sin(v) = \frac{\text{modst\aa ende katete}}{\text{hypotenuse}}$

Den modstående katete til vinklen på 27° er mellemstationens højde over svævebanens bund. Hypotenusen er længden af turen med svævebanen op til mellemstationen. Vi indsætter tallene i formlen:

$\sin(27) = \frac{\text{mellemstationens h\o jde}}{\text{830}}$

Vi ganger med 830 på begge sider af lighedstegnet og får så:

$\sin(27)\cdot 830 = \text{mellemstationens h\o jde}$

Vi beregner sin⁡(27) · 830 og resultatet (376,81 m) er mellemstationens højde over svævebanens bund.

2.3

Hvor lang tid kan Noah forvente, at turen fra mellemstationen til toppen varer?

Facit

5 min. og 30 sek.

Hint

Turen fra mellemstationen til toppen er dobbelt så lang som turen fra bunden til mellemstationen.

Løsning

Turen fra mellemstationen til svævebanens top er dobbelt så lang som turen fra svævebanens bund til mellemstationen. Noah kan derfor forvente, at turen til svævebanens top tager dobbelt så lang tid. Det dobbelte af 2 min. og 45 sek. er 5 min og 30 sek., så Noah kan forvente, at turen fra mellemstationen til toppen varer ca. 5 min. og 30 sek.

Kommentarer til løsningen

Turen fra mellemstationen til toppen er 1660 m, hvilket er det dobbelte af turen fra bunden til mellemstationen (830 m). Når svævebanen fortsætter med samme fart efter opholdet ved mellemstationen, så kan Noah derfor forvente, at turen til toppen varer dobbelt så lang tid som turen til mellemstationen.

Det dobbelte af 2 min. og 45 sek. er 4 min. og 90 sek. Da der er 60 sek. på ét minut, så svarer 90 sek. til 1 min. og 30 sek. Dermed er 4 min. og 90 sek. det samme som 5 min. og 30 sek. Noah kan derfor forvente, at turen varer 5 min. og 30 sek.

2.4

Hvordan kan Noah bruge enten sinus, cosinus eller tangens til at regne det ud?

Hint

Brug fx formlen fra opg. 2.2:

$\sin(v) = \frac{\text{modst\aa ende katete}}{\text{hypotenuse}}$

Løsning

Svævebanen er hypotenusen i en retvinklet trekant:

$\sin(27) = \frac{\text{bjergets h\o jde}}{\text{sv\ae vebanens l\ae ngde}}$

I opg. 2.1 har vi beregnet, at længden af hele turen med svævebanen er 2490 m lang:

$\sin(27) = \frac{\text{bjergets h\o jde}}{2490}$

Noah kan bruge sinus til at beregne bjergets højde på følgende måde:

sin⁡(27) · 2490 ≈ 1130,436

Det passer, at bjerget er ca. 1130 m højt.

Kommentarer til løsningen

I en retvinklet trekant er sinus til en vinkel lig med den modstående katete delt med hypotenusen:

$\sin(v) = \frac{\text{modst\aa ende katete}}{\text{hypotenuse}}$

I den store retvinklede trekant på figuren er bjergets højde den modstående katete til vinklen på 27°. Hypotenusen er længden af hele turen med svævebanen. Vi får derfor formlen:

$\sin(27) = \frac{\text{bjergets h\o jde}}{\text{sv\ae vebanens l\ae ngde}}$

Vi sætter længden af svævebanen (2490 m) ind i formlen:

$\sin(27) = \frac{\text{bjergets h\o jde}}{2490}$

Vi ganger nu med 2490 på begge sider af lighedstegnet. Dermed får vi et udtryk for bjergets højde, hvor sinus indgår:

$\sin(27) \cdot 2490 = \text{bjergets h\o jde}$

Vi beregner, at bjerget er ca. 1130 m højt, dvs. at oplysningen på tegningen passer.

Opgave 3 - Flyttekasser i trailer

3.1

Undersøg, hvor mange flyttekasser der højst kan være i traileren. Du skal begrunde dit svar med beregning og en eller flere skitser, der viser, hvordan familien kan placere flyttekasserne i traileren.

Facit

Antallet af flyttekasser, der kan være i traileren, afhænger af, hvordan flyttekasserne placeres (fx om vi tillader, at flyttekasserne må stå på højkant). Facit i omegnen af 52 godtages derfor også.

Hint

Undersøg, hvordan der kan placeres flest muligt flyttekasser på bunden af traileren. Beregn derefter, hvor mange lag af flyttekasser, der er plads til.

Løsning

Her er en skitse, der viser, hvordan flyttekasserne kan placeres i bunden af traileren:

Der kan stå 13 flyttekasser i bunden af traileren.

Vi beregner, hvor mange lag af flyttekasser der kan være i traileren:

185/40 = 4,625

Der kan være 4 lag af flyttekasser.

Vi beregner, hvor mange flyttekasser, der kan være i traileren:

4 · 13 = 52

Der kan være 52 flyttekasser i traileren.

Kommentarer til løsningen

Antallet af lag af flyttekasser skal være et helt tal, da der ikke kan sættes fx 0,6 lag flyttekasser ind i traileren.

Husk, at du både skal lave beregninger og tegne en eller flere skitser.

Opgave 4 - Cykelbude

4.1

Hvor mange gange gik der højst 10 minutter, før buddet fra KVIK ankom til firmaet?

Facit

Hint

Listen med tal i kolonne A i Excel-filen viser, hvor længe der gik, før buddet fra KVIK ankom til firmaet. Tæl, hvor mange gange buddet brugte højst 10 minutter.

Løsning

Vi tæller, at buddet kom efter højst 10 minutter 12 gange.

Kommentarer til løsningen

Vi tæller, hvor mange tal der er i kolonne A i Excel-filen, som er 10 eller mindre.

4.2

Hvor stor en procentdel af de gange, firmaet bestilte et bud fra KVIK, skulle de vente i mere end 20 minutter på, at buddet ankom?

Facit

Ca. 17%

Hint

Brug formlen:

$\frac{\text{Antal gange, de ventede mere end 20 min.}}{\text{Antal ventetider i alt}}$

Løsning

Vi tæller, at 12 gange gik der mere end 20 minutter før buddet ankom til firmaet.

Vi tæller også, at der er 70 oplysninger om ventetider i datasættet.

Vi bestemmer, hvor tit de skulle vente mere end 20 minutter:

12/70 ≈ 0,17143

De skulle vente mere end 20 minutter ca. 17% af gangene.

Kommentarer til løsningen

Opgaven spørger til den procentdel af gangene, de skulle vente mere end 20 min., så vi omregner decimaltallet til procent.

4.3

Er du enig med Noahs mor? Brug data fra filen til at begrunde dit svar.

Hint

Du kan fx beregne, hvor ofte buddene ankom efter højst 15 min.

Løsning

Vi tæller, at 43 ud af 70 gange kom buddet efter højst 15 min. Da halvdelen af 70 er 35, så kom buddet efter højst 15 min. mere end halvdelen af gangene. Noahs mor har derfor ikke ret.

Kommentarer til løsningen

Opgaven kan løses ved at

beregne andelen af gange, buddet ankom efter højst 15 min. (som vi har gjort).
beregne middelværdien.
beregne medianen.

Alt efter hvilken fremgangsmåde du vælger, så kan du få forskellige svar (enig/uenig med Noahs mor).

Du kan få point for din løsning, uanset om du er enig eller uenig med Noahs mor, så længe du har en holdbar begrundelse.

4.4

Du skal bruge tallene i de to datasæt til at skrive et argument, Noahs mor kan bruge til at begrunde sin holdning, og et argument, Noah kan bruge til at begrunde sin holdning.

Hint

Beregn medianen og gennemsnittet for hvert datasæt.

Løsning

Vi beregner medianen, gennemsnittet, mindsteværdien og størsteværdien for hvert datasæt:

Noahs argument: "KVIK var bedre end TJEP, fordi medianen for tiderne for KVIK er 14 min., mens medianen for tiderne for TJEP er 15 min."

Noahs mors argument: "TJEP er bedre end KVIK, fordi gennemsnittet af tiderne for TJEP er 15 min., mens gennemsnittet af tiderne for KVIK er 16 min."

Kommentarer til løsningen

Her kan du se, hvordan vi har beregnet medianen, gennemsnittet, mindsteværdien og størsteværdien i Excel:

Datasættet for KVIK står i celle A4 til A73.

Datasættet for TJEP står i celle C4 til C53.

Vi har brugt medianen og gennemsnittet i argumenterne. Du kan også bruge mindsteværdien og størsteværdien.

Opgave 5 - Biler, fart og CO2-udledning

5.1

Du skal vise med beregning, at Isabell har ret.

Hint

Aflæs, hvor meget CO₂ bilen udleder pr. km, når den kører 60 km/t, og gang resultatet med 2.

Løsning

Bilen udleder 125 gram CO₂ pr. km, når den kører 60 km/t.

Bilen udleder 245 gram CO₂ pr. km, når den kører 120 km/t.

Det dobbelte af 125 er 250:

2 · 125 = 250

Da 245 næsten er 250, så udleder bilen næsten dobbelt så meget CO₂ pr. km, når den kører 120 km/t, som når den kører 60 km/t.

5.2

Hvor mange gram CO₂ ville bilen, ifølge modellen, udlede pr. kilometer, hvis den kørte 160 km/t?

Facit

525 gram CO₂ pr. km

Hint

Indsæt x = 160 i modellen.

Løsning

Vi beregner CO₂-udledningen, når farten er 160 km/t:

0,05 · 160² - 7 · 160 + 365 = 525

Bilen ville udlede 525 gram CO₂ pr. km, hvis den kørte 160 km/t.

Kommentarer til løsningen

Vi indsætter x = 160 i modellen:

0,05 · 160² - 7 · 160 + 365

5.3

Undersøg, hvilken fart bilen skal køre med for at udlede mindst CO₂ pr. kørt kilometer ifølge modellen.

Facit

70 km/t

Hint

Tegn grafen for f.

Løsning

Vi tegner grafen for f:

Bilen udleder mindst mulig CO₂ pr. km, når den kører 70 km/t.

Kommentarer til løsningen

Vi kan se på grafen, at når bilen udleder mindst mulig CO₂, så udleder den 120 gram CO₂ pr. km. Det sker, når bilen kører 70 km/t, så bilen udleder mindst mulig CO₂ pr. km, når den kører 70 km/t.

Du kan fx tegne grafen i GeoGebra™. Du kan tegne grafen ved at skrive funktionsforskriften i input-feltet.

Opgave 6 - Regneopskrifter

6.1

Du skal vise med beregning, at resultatet i trin 5 også bliver 1, hvis du vælger tallet 25 i trin 1.

Hint

Følg regneopskriften med 25 som starttal. Skriv gerne tallene op ligesom i eksemplet i opgaven.

Løsning

Trin	Eksempel med 25
1	25
2	26 og 24
3	25 · 25
4	26 · 24
5	25 · 25 - 26 · 24 = 1

Kommentarer til løsningen

Trin 1: Vi starter ud med tallet 25.

Trin 2: Tallet 1 større er 26, mens tallet 1 mindre er 24.

Trin 3: Vi ganger 25 med sig selv.

Trin 4: Vi ganger tallene 26 og 24 fra trin 2 med hinanden.

Trin 5: Vi trækker 26 · 24 fra 25 · 25.

6.2

Forklar, hvad n betyder i udtrykket.

Hint

Omskriv udregningen fra trin 5 i opg. 6.1 til

25² - 26 · 24

Sammenlign udregningen med formlen:

n² - (n + 1) · (n - 1)

Løsning

n er det tal, vi starter med i trin 1 i regneopskriften.

Kommentarer til løsningen

Vi omskriver udregningen i trin 5 i opg. 6.1:

25² - 26 · 24

Vi sammenligner resultatet med formlen:

n² - (n + 1) · (n - 1)

Når vi sammenligner de to udtryk, så kan vi se, at det ser ud til, at n er det tal, vi startede ud med (dvs. 25 i opg. 6.1).

Hvis vi bruger n som starttal og følger regneopskriften, så får vi:

Trin	Eksempel med n
1	n
2	n + 1 og n - 1
3	n · n
4	(n + 1) · (n - 1)
5	n · n - (n + 1) · (n - 1)

Da n · n = n², så får vi netop udtrykket i den røde boks, når vi følger regneopskriften med starttallet n:

n² - (n + 1) · (n - 1)

n er altså det tal, som vi begynder med i trin 1 i regneopskriften.

6.3

Forklar, hvilke fejl Noah har lavet.

Hint

Der er en fejl i trin 2 og en fejl i trin 3.

Løsning

Linje	Udregning	Fejl
Linje 1	n² - (n + 1) · (n - 1) =
Linje 2	n² - (n² - n + n + 1) =	Noah har skrevet +1 til sidst, men 1 · (-1) = -1. Noah skulle have skrevet: n² - (n² - n + n - 1) =
Linje 3	n² - n² - n + n + 1 =	Noah har glemt at ændre fortegnene, da han ophævede parentesen. Han skal ændre fortegnene, fordi det er en minus-parentes. Noah skulle have skrevet: n² - n² + n - n + 1 =
Linje 4	1

Kommentarer til løsningen

Linje 2

Noah skal omskrive n² - (n + 1) · (n - 1). De to parenteser kan ganges sammen ved at gange hvert led i den ene parentes med hvert led i den anden parentes:

$n^2 - ({\color{NavyBlue}n} +{\color{OliveGreen}1} ) \cdot ({\color{Maroon}n}{\color{Orange}\ - \1} ) = n^2 - ({\color{NavyBlue}n} \cdot {\color{Maroon}n} + {\color{NavyBlue}n} \cdot ({\color{Orange} - \1} ) + {\color{OliveGreen}1} \cdot {\color{Maroon}n} +{\color{OliveGreen}1} \cdot ({\color{Orange} - \1} ))$

Vi fjerner farverne og reducerer udtrykket:

$n^2 - (n \cdot n + n \cdot (-1) + 1 \cdot n + 1 \cdot (-1)) =n^2 - ( n^2 - n + n - 1)$

Noah har skrevet +1 i stedet for -1 til sidst i parentesen.

Linje 3

Der står et minus foran parentesen, dvs. at det er en minus-parentes. Når vi ophæver en minus-parentes, så skal alle fortegnene i parentesen ændres:

$n^2 - ( n^2 - n + n - 1) = n^2 {\color{OliveGreen} \ - \ } n^2 {\color{OliveGreen} \ + \ } n {\color{OliveGreen} \ - \ } n {\color{OliveGreen} \ + \ } 1$

Noah har glemt at ændre fortegnene.

6.4

Skriv en regneopskrift, som den øverst på siden, med trin, der passer til udtrykket i den blå boks.

Hint

Hvis n er et tilfældigt tal, hvordan kan du så beskrive n + 1 og n - 1 med ord? Og hvordan kan du beskrive sammenhængen mellem n, n + 1 og n - 1 i formlen?

Løsning

Trin 1: Vælg et tal.

Trin 2: Skriv det tal, der er 1 større, og skriv det tal, der er 1 mindre, end det tal, du valgte i trin 1.

Trin 3: Gang tallet fra trin 1 med det største tal fra trin 2.

Trin 4: Træk det mindste tal fra trin 2 fra resultatet fra trin 3.

Kommentarer til løsningen

Hvis n er et tal, så er n + 1 det tal, der er 1 større, mens n - 1 er det tal, der er 1 mindre.

Vi skal altså tage et tal, gange det med det tal, der er 1 større, og til sidst trække tallet, der er 1 mindre, fra resultatet.

Trin	Forklaring	Eksempel med n
1	Vælg et tal.	n
2	Skriv det tal, der er 1 større, og skriv det tal, der er 1 mindre, end det tal, du valgte i trin 1.	n + 1 og n - 1
3	Gang tallet fra trin 1 med det største tal fra trin 2.	n · (n + 1)
4	Træk det mindste tal fra trin 2 fra resultatet fra trin 3.	n · (n + 1) - (n - 1)

Opgave 7 - Symmetriakser i firkanter

7.1

Undersøg, om man kan tegne en firkant, der har

- 0 symmetriakser

- netop 1 symmetriakse

- netop 2 symmetriakser

- flere end 2 symmetriakser.

Hint

Undersøg, hvor mange symmetriakser forskellige typer af firkanter (fx rektangel rombe, parallelogram) har.

Løsning

Vi har tegnet firkanter med hhv. 0, 1, 2 og flere end 2 symmetriakser:

Kommentarer til løsningen

Firkanten øverst til venstre har ingen symmetriakser.

Firkanten øverst til højre er et trapez. Trapezet har kun én symmetriakse.

Firkanten nederst til venstre er et rektangel. Rektanglet har to symmetriakser.

Firkanten nederst til højre er et kvadrat. Kvadratet har fire symmetriakser.