Med hjælpemidler

25,50 kr.

Beregn forskellen mellem priserne.

Vi beregner forskellen mellem prisen på en LED-pære og en halogenpære:

59,50 - 34,00 = 25,50

Prisforskellen er 25,50 kr.

Det er vigtigt, at du ikke kun angiver facit, men at du også opstiller et regneudtryk:

59,50 - 34,00

Ca. 14 år

(Ca. 13 år eller ca. 13,5 år godtages også.)

Beregn først, hvor mange dage en LED-pære kan holde, hvis den bruges 3 timer om dagen.

Vi beregner, hvor mange dage en LED-pære kan holde, hvis Anna bruger den 3 timer om dagen:

15000/3 = 5000

LED-pæren kan holde 5000 dage. Vi omregner 5000 dage til år: 

5000/365 ≈ 13,69863

En LED-pære kan holde ca. 14 år.

Vi aflæser i skemaet, at den gennemsnitlige levetid for en LED-pære er 15.000 timer. Vi får oplyst, at Anna bruger LED-pæren 3 timer om dagen, så vi kan beregne, hvor mange dage LED-pæren kan holde ved at dele 15.000 med 3.

Da der er 365 dage på et år, så kan vi omregne antallet af dage til år ved at dele antallet af dage med 365.

80%

Beregn først forskellen mellem udgifterne til el til de to typer af pærer.

Del derefter forskellen med udgiften til el til en halogenpære.

Vi beregner forskellen mellem udgiften til el for en halogenpære og en LED-pære:

5 - 1 = 4

Forskellen i udgiften til el er 4 kr.

Vi beregner, hvor meget udgiften til el for en LED-pære er mindre end for en halogenpære:

4/5 = 0,8

Udgiften til el er 80% mindre for en LED-pære end for en halogenpære.

Regneudtrykket giver et decimaltal, som vi omregner til procent, da opgaven spørger til forskellen i procent.

Dit svar godtages, uanset om du har svaret "Anna har ret" eller "Anna har ikke ret", så længe du laver en holdbar begrundelse.

Du kan fx opstille et skema, hvor du beregner den samlede pris for hhv. en LED-pære og en halogenpære:

Vi opstiller et skema med den samlede pris for hhv. en LED-pære og en halogenpære efter 0 - 10 måneder:

Efter 6 måneder er LED-pæren billigst. Anna har ret, da det i længden er billigst at have en LED-pære.

Prisen efter 0 måneder er prisen for selve pæren.

Vi beregner priserne for de andre måneder ved at lægge udgiften til el til 1 pære i 1 måned til den forrige måneds pris. Her ses formlerne:

Lav de udregninger, der skal til, for at tjekke tallene i teksten. Ret de tal og konklusioner, der ikke er rigtige.

Vi opstiller en tabel med 9.A's resultater og tilføjer nogle beregninger:

Vi beregner, hvor meget andelen af forældre, der cyklede uden lys, er større end andelen af elever, der cyklede uden lys:

(31,8 - 21,1)/21,1 ≈ 0,507109

Vi retter fejlene i 9.A's tekst:

Vores undersøgelse viser, at:

• 12 ud af 57 elever cyklede uden lys.
• 60 ud af 79 cyklister cyklede med lys. Det svarer til ca. 3 ud af 4 cyklister.
• 21,1 % af eleverne og 31,8 % af forældrene cyklede uden lys. Samlet set var det 24,1 % af cyklisterne.
• andelen af forældre, der cyklede uden lys, var 50,7 % større end andelen af elever, der cyklede uden lys.

Vi laver de beregninger, der skal til for at tjekke, om tallene i teksten er korrekte. Vi har lavet beregningerne i Excel. Formlerne kan ses herunder:

• Vi aflæser, at 12 elever kørte uden lys, og at der er 57 elever i undersøgelsen. Vi retter derfor 45 til 57.
• Vi aflæser, at 60 cyklister kørte med lys, og at der er 79 cyklister i undersøgelsen. Vi retter 4 ud af 5 til 3 ud af 4, da

• Vi aflæser, at 21,1 % af eleverne og 31,8 % af forældrene cyklede uden lys. Vi beregner andelen af cyklister, der kørte uden lys, ved at dele antallet af cyklister, der kørte uden lys, med det samlede antal cyklister:

19/79 ≈ 0,2405063

• Vi kan beregne, hvor mange procent A er større end B med formlen

12 pærer

Aflæs antallet af pærer på figuren. Vær opmærksom på, hvor mange pærer hver streg repræsenterer.

Vi aflæser, at der var 12 pærer, der havde en levetid på mellem 13.000 og 14.000 timer.

Vi aflæser antallet af pærer på y-aksen. Der er 4 tynde streger mellem 10 pærer og 20 pærer, så hver streg repræsenterer 2 pærer.

Anna har ret i sin påstand.

Brug formlen:

Vi beregner antallet af pærer, der havde en levetid på mindst 14.000 timer:

28 + 30 + 11 + 6 + 3 + 2 = 80

Vi beregner andelen af pærer, der havde en levetid på mindst 14.000 timer:

80/100 = 0,8

80% af pærerne havde en levetid på mindst 14.000 timer. Da 3/4 = 75%, så har Anna ret i sin påstand.

Vi aflæser antallet af pærer, der havde en levetid på mindst 14.000 timer, på figuren:

Vi beregner, at 80% af pærerne havde en levetid på mindst 14.000 timer.

Anna påstår, at 3/4 af pærerne havde en levetid på mindst 14.000 timer. Vi ved, at 3/4 = 75%. Da 80% > 75%, så har Anna ret i sin påstand om, at flere end 3/4 af pærerne havde en levetid på mindst 14.000 timer.

Ca. 15046 timer

Du kan beregne gennemsnitslevetiden for elpærerne fra BLID ved at lægge levetiderne for alle 100 pærer sammen og dele med 100.

Du kan også bruge formlen MIDDEL i Excel.

Vi bruger formlen MIDDEL til at beregne gennemsnittet i Excel:

Gennemsnitslevetiden for elpærerne fra BLID var ca. 15046 timer.

Levetiderne for pærerne står i kolonne A fra celle A2 til A101. Vi bruger formlen MIDDEL i Excel. Formlen kan ses her:

Du kan fx beregne, hvor stor en andel af hhv. SKIN-pærerne og BLID-pærerne, der havde en levetid på hhv. 14.000 timer og 18.000 timer.

Anna

Vi beregner antallet af BLID-pærer, der havde en levetid på mindst 14.000 timer:

5 + 6 + 4 + 4 + 20 + 18 = 57

57 ud af 100 BLID-pærer (dvs. 57%) havde en levetid på mindst 14.000 timer.

Annas argument: 80% af SKIN-pærerne havde en levetid på mindst 14.000 timer, mens kun 57% af BLID-pærerne havde en levetid på mindst 14.000 timer.

Peter

Vi beregner antallet af BLID-pærer, der havde en levetid på mindst 18.000 timer:

20 + 18 = 38

38 ud af 100 BLID-pærer (dvs. 38%) havde en levetid på mindst 18.000 timer.

Vi beregner antallet af SKIN-pærer, der havde en levetid på mindst 18.000 timer:

3 + 2 = 5

5 ud af 100 SKIN-pærer (dvs. 5%) havde en levetid på mindst 18.000 timer.

Peters argument: 38% af BLID-pærerne havde en levetid på mindst 18.000 timer, mens kun 5% af SKIN-pærerne havde en levetid på mindst 18.000 timer.

Vi aflæser BLID-pærernes levetid i regnearket og SKIN-pærernes levetid på diagrammet.

Procent betyder "per hundrede", så da 57 ud af 100 BLID-pærer havde en levetid på mindst 14.000 timer, så havde 57% af BLID-pærerne en levetid på mindst 14.000 timer.

Jo længere levetid en pære har, jo bedre.

Anna kan argumentere for, at SKIN-pærerne er bedst, da andelen af SKIN-pærer, der har en levetid på mindst 14.000 timer, er større end andelen af BLID-pærer, der har en levetid på mindst 14.000 timer.

Peter kan argumentere for, at BLID-pærerne er bedst, da andelen af BLID-pærer, der har en levetid på mindst 18.000 timer, er større end andelen af SKIN-pærer, der har en levetid på mindst 18.000 timer.

Beregn forholdet mellem længden af Annas skygge og Annas højde:

Vi beregner forholdet mellem længden af Annas skygge og Annas højde:

2,5/1,69 ≈ 1,47929

Annas skygge er 1,48 gange så lang som Anna, dvs. at Annas skygge er ca. 1,5 gange så lang som Anna.

Vi aflæser på figuren, at Annas skygge er 2,5 m lang. Vi får oplyst, at Anna er 1,69 m høj.

Da 1,48 ≈ 1,5, så er Annas skygge ca. 1,5 gang så lang som Anna.

To trekanter er ligedannede, hvis vinklerne er parvist lige store:

Vi får oplyst, at de to trekanter er retvinklede. Vi får også oplyst, at de to sorte vinkler er lige store. De sidste vinkler i trekanterne må derfor også være lige store.

Da vinklerne i trekanterne er parvist lige store, så er trekanterne ligedannede.

Vinkelsummen i en trekant er 180°, så for hver trekant gælder, at

90° + den sorte vinkel + den tredje vinkel = 180°

Da de sorte vinkler er lige store, så må den tredje vinkel i den lille trekant være lige så stor som den tredje vinkel i den store trekant.

I ligedannede trekanter er forholdet mellem ensliggende sider det samme:

Da trekanterne er ligedannede, så er forholdet mellem de ensliggende sider det samme.

Vi beregner forholdet mellem siderne i de to trekanter:

17,5/2,5 = 7

Alle siderne i den store trekant er 7 gange så lange som de tilsvarende sider i den lille trekant. Kirken er derfor 7 gange så høj som Anna. Vi beregner kirkens højde:

7 · 1,69 = 11,83

Anna kan have brugt ovenstående fremgangsmåde til at beregne højden af kirketårnet.

Vi aflæser på tegningen, at den vandrette side i den store trekant er 17,5 m lang, og at den vandrette side i den lille trekant er 2,5 m lang. Vi bruger oplysningerne til at beregne forholdet mellem de ensliggende sider i trekanterne.

I en retvinklet trekant er

Peter kan bruge tangens til at beregne højden af kirketårnet på følgende måde:

tan⁡(34) · 17,5 ≈ 11,8039

Da trekanten er retvinklet, så er

Vi ganger med 17,5 på begge sider af lighedstegnet og får, at

16 cm

Aflæs i tabellen, hvor meget kortere stearinlyset bliver hvert 20. minut.

Efter 100 minutter er stearinlyset 17 cm langt.

Efter 120 minutter er stearinlyset 16 cm langt.

Vi aflæser i tabellen, at hvert 20. minut er stearinlyset blevet 1 cm kortere:

Vi får oplyst i opgaven, hvor langt stearinlyset er på forskellige tidspunkter. Markér de tilsvarende punkter i et koordinatsystem, og tegn linjen gennem punkterne.

Vi får oplyst, hvor langt lyset er efter 0 min, 20 min, 40 min, 60 min og 80 min. Vi markerer de tilsvarende punkter i et koordinatsystem: (0,22), (20,21), (40,20), (60,19) og (80,18).

Vi tegner linjen gennem punkterne.

Bemærk: Du skal tegne en graf, der viser sammenhængen mellem tiden og lysets længde, i al den tid lyset brænder. Din figur skal derfor vise grafen fra skæringspunktet med y-aksen til skæringspunktet med x-aksen.

Funktionen f er en lineær funktion, da forskriften er på formen

f(x) = ax + b

Tallet 25 fortæller, at Peters stearinlys var 25 cm langt, inden det blev tændt.

Tallet 2,4 fortæller, at Peters stearinlys bliver 2,4 cm kortere pr. time, det har brændt.

f er en lineær funktion, hvor a = -2,4 og b = 25.

Da a = -2,4, så falder funktionsværden med 2,4 hver gang x vokser med 1. Vi får oplyst, at x er antal timer, lyset har brændt, mens f(x) er lysets længde i cm. Lysets længde falder altså med 2,4 for hver time, lyset har brændt.

Da b = 25, så er f(0) = 25, dvs. at når lyset har brændt 0 timer, så er lyset 25 cm langt. Lyset er altså 25 cm langt, inden det bliver tændt.

Ca. 10,5 timer

Lyset er brændt ned, når lyset er 0 cm langt.

Vi beregner, hvor lang tid der går, før lyset er 0 cm langt:

25 - 2,4x = 0   →   x = 10,41667

Peters lys kan brænde i ca. 10,5 timer, før det er brændt ned.

Funktionsværdien f(x) er lysets længde i cm. Lyset er brændt ned, når f(x) = 0.

Da f(x) = 25 - 2,4x, så svarer ovenstående ligning til

25 - 2,4x = 0

Du kan løse ligningen i et CAS-værktøj, fx GeoGebra™. Du kan løse ligningen i GeoGebra ved at skrive Løsninger(25-2.4x=0) i CAS-vinduet og trykke på "≈".

Du kan også løse opgaven ved at tegne grafen for f og bestemme koordinaterne til skæringspunktet mellem grafen for f og x-aksen. Skæringspunktets x-koordinat fortæller, hvor lang tid der går, før lyset er brændt ned.

Følg vejledningen i opgaven. Du kan fx tegne figuren i GeoGebra™.

Du kan tegne figuren i GeoGebra™ på følgende måde:

• Tegn først et linjestykke, der skal være diameter i cirklen med værktøjet Linjestykke.
• Bestem cirklens midtpunkt med værktøjet Midtpunkt eller centrum.
• Tegn en cirkel med værktøjet Cirkel ud fra centrum og punkt. Linjestykkets midtpunkt er cirklens centrum C. Det andet punkt på cirklen er et af linjestykkets endepunkter Q.
• Tegn punktet P med værktøjet Punkt på objekt.
• Forbind punktet P med centrum C og det ene af linjestykkets endepunkter Q med værktøjet Linjestykke.

Vinklerne v, w og t er vinklerne i en trekant.

Vinklerne v, w og t er vinklerne i en trekant. Vinkelsummen i en trekant er 180°, så v, w og t er 180° tilsammen:

v + w + t = 180°

CP og CQ er radier i cirklen.

v, w og t er vinklerne i trekant CPQ. Da punkterne P og Q begge to ligger på cirklen, og C er cirklens centrum, så er CP radius i cirklen og CQ er radius i cirklen. Linjestykkerne CP og CQ er altså lige lange.

Da CP og CQ er lige lange, så er trekant CPQ ligebenet. I en ligebenet trekant er to af vinklerne lige store. De lige store vinkler er de to vinkler, der ikke ligger mellem de lige lange sider, dvs. at v og w er lige store.

I en ligebenet trekant er to af siderne lige lange, og to af vinklerne er lige store:

Linje 2: t og u er nabovinkler.

Linje 3: Sammenlign linje 1 og linje 2.

Linje 2: t + u = 180°

Da t og u er nabovinkler, så er t + u = 180°.

Linje 3: u = 2v

Da v + v + t = 180° og t + u = 180°, så er

v + v + t = t + u

Vi trækker t fra på begge sider af lighedstegnet og får:

v + v = u

Da v + v = 2v, så gælder der altså, at u = 2v.

Linje 2

Nabovinkler udgør tilsammen 180°:

Linje 3

Vi ved fra linje 1, at v + v + t = 180°.

Vi ved fra linje 2, at t + u = 180°.

Du kan fx løse opgaven ved at prøve dig frem.

Hvis du kan nå frem til resultatet uden at bruge fire 1-taller, så kan du altid gange resultatet med de "overskydende" 1-taller.

Opgaven kan løses på flere forskellige måder.

Opgaven kan løses på flere måder, så din besvarelse kan godt være korrekt, selv om den ikke er identisk med vores. Her kan du fx se to forskellige løsninger til det første regneudtryk: