Med hjælpemidler

45 kr.

Træk prisen for en enkeltbillet til et barn fra prisen for en enkeltbillet til en voksen.

Vi beregner prisforskellen:

319 - 274 = 45

Prisforskellen er på 45 kr.

Det er vigtigt, at du ikke kun angiver facit, men at du også opstiller et regneudtryk:

319 - 274

6118 kr.

Gang prisen pr. børnebillet med antal børn. Gang prisen pr. voksenbillet med antal voksne. Læg resultaterne sammen.

Vi beregner prisen for enkeltbilletter til 20 børn og 2 voksne:

20 · 274 + 2 · 319 = 6118

Billetterne koster 6118 kr.

Vi får oplyst, at en enkeltbillet til et barn koster 274 kr. Prisen for 20 enkeltbilletter til børn er derfor

20 · 274

Vi får oplyst, at en enkeltbillet til en voksen koster 319 kr. Prisen for 2 enkeltbilletter til voksne er derfor

2 · 319

Prisen for 20 enkeltbilletter til børn og 2 enkeltbilletter til voksne er

20 · 274 + 2 · 319

Undersøg, hvad prisen er for enkeltbilletter til n børn.

Undersøg, hvad prisen er for 2 enkeltbilletter til voksne.

En enkeltbillet til et barn koster 274 kr. Prisen for enkeltbilletter til n børn er derfor 274n.

Vi beregner prisen for to enkeltbilletter til voksne:

2 · 319 = 638

Prisen for enkeltbilletter til n børn og 2 voksne koster derfor 274n + 638 kr. i alt.

Vi beregner den samlede pris for enkeltbilletter til børn ved at gange billetprisen med antallet af børn. Prisen for billetter til n børn er dermed 274n.

Vi beregner den samlede pris for to enkeltbilletter til voksne ved at gange billetprisen (319 kr.) med 2. Prisen for to enkeltbilletter til voksne er 638 kr.

Vi beregner den samlede pris for enkeltbilletter til n børn og 2 voksne ved at lægge 274n sammen med 638.

8, 16 - 18 eller 22 - 40 børn

Beregn prisen for enkeltbilletter, hvis der skal 1 - 40 børn med på turen. Sammenlign priserne med priserne for gruppebilletter. Du kan fx lave en tabel i Excel.

Vi laver en tabel med priser for 1 - 40 børn:

Det er billigere at købe en gruppebillet end enkeltbilletter, hvis der skal 8, 16 - 18 eller 22 - 40 børn med på turen.

Vi har lavet tabellen i Excel. Her kan du se formlerne i tabellen:

Vi har beregnet prisen for enkeltbilletter til børn ved at gange billetprisen (274 kr.) med antallet af børn.

Vi har beregnet prisen for enkeltbilletter til børn og 2 voksne ved at lægge prisen for enkeltbilletter til børn sammen med prisen for enkeltbilletter til 2 voksne (638 kr.).

Når du aflæser priserne for gruppebilletter, så skal du huske, at der også skal 2 voksne med på turen. Hvis der fx skal 9 børn afsted, så er de altså 11 personer i alt.

Eleverne kan have købt 6 krus kakao. Undersøg, om eleverne kan have købt 5, 4, 3... osv. krus kakao, og hvor mange krus saftevand eller stykker chokolade, børnene i så fald også har købt.

Vi laver en tabel med de forskellige muligheder:

Der er 10 forskellige muligheder.

Eleverne kan have købt 6 krus kakao, da kakao koster 15 kr. pr. krus.

Eleverne kan ikke have købt 5 krus kakao, da 5 krus kakao koster 75 kr., og eleverne kan ikke købe saftevand eller chokolade for 15 kr.

Hvis eleverne har købt 4 krus kakao, så har de brugt 60 kr. De sidste 30 kr. kan eleverne have brugt på 2 måder: De kan have købt 5 krus saftevand, eller de kan have købt 1 krus saftevand og 3 stykker chokolade.

Vi har brugt samme fremgangsmåde til at komme frem til de andre muligheder.

66 m

Den udvendige sidelængde er 11 m. 

Vi beregner den udvendige omkreds:

6 · 11 = 66

Den udvendige omkreds er 66 m.

Vi får oplyst, at alle hække, der har form som en regulær polygon, har en udvendig sidelængde på 11 m. Hækken, der har form som en regulær sekskant, har derfor en udvendig sidelængde på 11 m.

Vi beregner omkredsen ved at gange antallet af sider med den udvendige sidelængden. En sekskant har 6 sider og den udvendige sidelængden er 11 m, så den udvendige omkreds beregnes ved

6 · 11

Du kan beregne vinkelsummen i en n-polygon med formlen

(n - 2) · 180°

Vi beregner vinkelsummen i en syvkant:

(7 - 2) · 180° = 900°

Vi beregner størrelsen på hver vinkel:

900°/7 ≈ 128,5714

Hver vinkel skulle være ca. 129°.

Vi bruger formlen for vinkelsummen i en polygon til at beregne vinkelsummen i en syvkant.

I en regulær polygon er alle vinkler lige store. Vi beregner derfor størrelsen af hver vinkel ved at dele vinkelsummen med antallet af vinkler.

Du kan også løse opgaven ved at tegne en regulær polygon i et dynamisk geometriprogram som fx GeoGebra™.

Vejledning til GeoGebra:

• Vælg "Regulær polygon" i værktøjslinjen (under ikon nr. 5 fra venstre).
• Klik to steder på tegneblokken for at afsætte to af hjørnerne i polygonen.
• Vælg "7" i den boks, der dukker op. GeoGebra tegner en regulær syvkant.
• Vælg værktøjet "Vinkel" (ikon nr. 8 fra venstre).
• Mål en vinkel i syvkanten ved at klikke på et hjørne i syvkanten og derefter på de to efterfølgende hjørner.

Sæt et skærmbillede af din figur ind i din besvarelse.

Albertes metode kan ikke bruges.

Bertils metode kan bruges.

Følg Albertes og Bertils fremgangsmåde, og undersøg, om fremgangsmåden kan bruges til at bestemme cirklens centrum.

Vi laver en tegning med Albertes metode og en tegning med Bertils metode.

Albertes metode:

Bertils metode:

Albertes metode duer ikke, da linjerne ikke skærer hinanden i samme punkt.

Bertils metode virker.

Du kan tegne figurerne i et dynamisk geometriprogram, fx GeoGebra™.

2,97 ture

Du kan fx beregne gennemsnittet i regnearket. Brug formlen "MIDDEL".

Medlemmerne i Mejlby har i gennemsnit deltaget i 2,97 ture på et år.

Vi har kopieret datasættet ind i celle A1 til A31. Vi beregner gennemsnittet med formlen "=MIDDEL(A1:A31)".

Du kan fx tegne søjlediagrammet i Excel.

Vi har tegnet søjlediagrammet i Excel.

Vær opmærksom på, at du skal tegne et søjlediagram, der viser fordelingen af antal ture blandt medlemmer i Skovby, ikke Mejlby.

Du kan fx bestemme mindsteværdien, størsteværdien, medianen, nedre og øvre kvartil og gennemsnit for hver fordeling og sammenligne tallene.

Det gennemsnitlige antal ture er ca. 3 for både Mejlby og Skovby, dvs. at medlemmerne i begge afdelinger har været på lige mange ture i gennemsnit. Medianen er 3 for begge afdelinger, dvs. at i begge afdelinger har halvdelen af medlemmerne været på højst 3 ture.

I begge afdelinger har medlemmerne været på mellem 0 og 6 ture.

I Mejlby har 50% af medlemmerne været på mellem 1 og 5 ture. I Skovby har 50% af medlemmerne været på mellem 2 og 4 ture. Der er altså flere i Skovby, der har været på et antal ture tæt på medianen, end der er i Mejlby, hvor fordelingen er mere spredt.

Du kan fx bruge GeoGebra™ til at bestemme mindsteværdi, størsteværdi, kvartiler, medianer og gennemsnit. Indsæt et skærmbillede fra GeoGebra, der viser resultaterne, i din besvarelse.

De første to overskrifter passer på dataene, den sidste overskrift gør ikke.

Lav de beregninger, der skal til, for at undersøge om overskrifterne passer på dataene. Husk, at du skal se på de samlede data for begge afdelinger.

Første overskrift

I alt har 37 ud af 66 medlemmer deltaget i mindst 3 ture.

Da 37/66 > 1/2, så har over halvdelen af medlemmerne deltaget i 3 eller flere ture på et år. Overskriften passer på dataene.

Anden overskrift

I alt har 7 medlemmer ud af 66 medlemmer ikke deltaget i ture, dvs. at 59 medlemmer ud af 66 medlemmer har deltaget i ture.

Vi beregner andelen af medlemmer, der har deltaget i ture:

59/66 ≈ 0,8939394

Ca. 90% af medlemmerne har deltaget i ture det seneste år, dvs. at ca. 9 ud af 10 medlemmer har deltaget i ture det seneste år. Overskriften passer på dataene.

Tredje overskrift

I alt har 29 ud af 66 medlemmer deltaget i 0 - 2 ture.

Vi beregner andelen af medlemmer, der har deltaget i færre end 3 ture:

29/66 ≈ 0,4393939

Ca. 44% af medlemmerne har deltaget i færre end 3 ture på et år, så flere end hvert tredje medlem har deltaget i færre end 3 ture på et år. Overskriften passer ikke på dataene.

Første overskrift

I Skovby har 21 ud af 35 medlemmer deltaget i mindst 3 ture. (Vi har lagt tallene i tabellen sammen.)

I Mejlby har 16 ud af 31 medlemmer deltaget i mindst 3 ture. (Vi har talt antallet af medlemmer, der har deltaget i mindst 3 ture.)

Anden overskrift

I Skovby har 2 medlemmer ikke deltaget i ture. (Vi har aflæst tallet i tabellen.)

I Mejlby har 5 medlemmer ikke deltaget i ture. (Vi har talt antallet af medlemmer, der har deltaget i 0 ture.)

Vi omskriver et decimaltal til procent ved at gange med 100, så 0,894 er 89,4%.

Tredje overskrift

I Skovby har 14 medlemmer deltaget i 0 - 2 ture. (Vi har lagt tallene i tabellen sammen.)

I Mejlby har 15 medlemmer deltaget i 0 - 2 ture. (Vi har talt antallet af medlemmer, der har deltaget i 0, 1 eller 2 ture.)

Beregn, hvor meget fyrets afstand til skrænten blev kortere fra 1900 til 2019. Del resultatet med antallet af år.

Vi beregner, hvor meget tættere fyret stod på skrænten i 2019 end i 1900:

200 - 7 = 193

Der er 119 år fra 1900 til 2019.

Vi beregner, hvor meget fyrets afstand til skrænten i gennemsnit blev kortere pr. år:

193/119 ≈ 1,621849

Fyrets afstand til skrænten blev i gennemsnit 1,62 m kortere pr. år.

Vi får oplyst, at fyret stod ca. 200 m fra skrænten i 1900.

Vi får oplyst, at fyret stod ca. 7 m fra skrænten i 2019.

Vi beregner, at fyrets afstand til skrænten blev 193 m kortere fra 1900 til 2019.

Vi beregner, hvor meget fyrets afstand til skrænten blev kortere pr. år i gennemsnit ved at dele afstanden (193 m) med antallet af år (119 år).

Grafen for en lineær funktion er en ret linje.

Funktionen er en lineær funktion, da funktionsforskriften er på formen f(x) = ax + b, hvor a = -1,62 og b = 200. Grafen for en lineær funktion er en ret linje, så grafen for f er en ret linje.

Funktionsforskriften kan omskrives:

Funktionsforskriften er på formen f(x) = ax + b, hvor a = -1,62 og b = 200.

Du kan fx lave en tabel i Excel, hvor du beregner, hvor meget der bliver slidt væk hvert år, og hvor meget der er blevet slidt væk i alt.

Fyret bør flyttes igen i 2050, hvor fyret igen står ca. 7 m fra kanten.

Vi får oplyst, at det stykke, der blev slidt væk i 2019, var 1,62 m. Året efter var nedslidningen 2% større. Vi kan beregne nedslidningen i 2020 ved at gange 1,62 m med 1,02. Vi beregner nedslidningen hvert år ved at gange nedslidningen året før med 1,02.

Vi har lavet tabellen i Excel. Her kan du se formlerne:

Vi får oplyst, at fyret blev flyttet i 2019, da afstanden til skrænten var 7 m. Vi antager, at fyret skal flyttes igen, når afstanden til skrænten igen er 7 m.

Figuren har form som et rektangel med et ekstra kvadrat tilføjet. Undersøg, hvor meget længere og bredere figuren bliver.

Vi tæller længden og bredden af rektanglet i hver figur:

Vi tegner et rektangel med længden 5 og bredden 4 og tilføjet et ekstra kvadrat.

16

Tæl længden af figurens sider.

Vi beregner omkredsen:

4 + 4 + 1 + 1 + 3 + 3 = 16

Omkredsen af figur 3 er 16.

Vi beregner omkredsen ved at lægge længderne af alle figurens sider sammen.

n + n + (n + 1) + (n + 1) + 1 + 1

(Udtrykkene 2 · n + 2 · (n + 1) + 2 eller 4n + 4 er også korrekte svar.)

Brug samme fremgangsmåde som i opg. 6.2 til at opstille et udtryk for omkredsen af figur 1 og figur 2. Undersøg, hvilket mønster der er i udtrykkene for omkredsen.

Omkredsen af figur n er n + n + (n + 1) + (n + 1) + 1 + 1.

Du kan nå frem til omkredsen af figur n på flere måder. Herunder er to forslag.

Forslag 1

Vi opstiller et udtryk for omkredsen af hver af de tre figurer. Vi bemærker, at omkredsen af en figur kan beregnes ved "figurnummer + figurnummer + (figurnummer + 1) + (figurnummer + 1) + 1 + 1".

Omkredsen af figur n er derfor n + n + (n + 1) + (n + 1) + 1 + 1.

Forslag 2

Vi kan se, at figuren består af et rektangel med et lille kvadrat tilføjet. 

Længden af rektanglet er "figurnummeret + 1". Bredden af rektanglet er figurnummeret. Det lille kvadrat har altid sidelængden 1.

Vi skriver mål på en skitse af figur n:

Omkredsen af figur n er n + n + (n + 1) + (n + 1) + 1 + 1.

Albertes formel kan forklares ved at opdele figuren i et rektangel og et kvadrat.

Albertes formel: A = n · (n + 1) + 1 

Figur n består af et rektangel med længden n + 1 og bredden n og et lille kvadrat med sidelængden 1.

Arealet af rektanglet er n · (n + 1). Arealet af kvadratet er 1. Arealet af hele figuren er derfor n · (n + 1) + 1. Albertes formel kan derfor bruges.

Albertes formel: A = n · (n + 1) + 1

Vi kan beregne arealet af et rektangel ved at gange længden med bredden.

Arealet af et kvadrat med sidelængden s er s². Når sidelængden er 1, så er arealet dermed

1² = 1

Vi kan beregne arealet af hele figuren ved at lægge arealet af rektanglet sammen med arealet af kvadratet.

Bertils formel: A = (n + 1)² - n

Vi kan udvide figur n til et kvadrat med sidelængden n + 1.

Arealet af et kvadrat med sidelængden s er s². Arealet af kvadratet på figuren er derfor (n + 1)².

Da vi udvidede figuren til et kvadrat, så tilføjede vi et rektangel til figuren. Rektanglet har længden n og bredden 1. Arealet af et rektangel er længden gange bredden. Arealet af rektanglet på figuren er derfor

n · 1 = n

Vi kan beregne arealet af figuren ved at trække arealet af rektanglet fra arealet af kvadratet:

(n + 1)² - n

Bertils formel kan derfor bruges.

Olivers formel: A = n² + n + 1

Figur n kan opdeles i to kvadrater med sidelængderne 1 og n og et rektangel med længden n og bredden 1.

Arealet af et kvadrat med sidelængden s er s². Arealet af kvadratet med sidelængden n er derfor n². Arealet af kvadratet med sidelængden 1 er 1², dvs. 1.

Arealet af et rektangel er længden gange bredden. Arealet af rektanglet på figuren er derfor

n · 1 = n

Vi kan beregne arealet af hele figuren ved at lægge arealerne af kvadraterne og arealet af rektanglet sammen:

n² + n + 1

Olivers formel kan derfor bruges.

Husk, at (n + 1)² = (n + 1) · (n + 1).

Albertes formel: A = n · (n + 1) + 1

Vi ganger n ind i parentesen ved at gange hvert led i parentesen med n:

n · (n + 1) + 1 = n² + n + 1

Bertils formel: A = (n + 1)² - n

Vi kan omskrive (n + 1)²:

(n + 1)² - n = (n + 1) · (n + 1) - n

Vi ganger to parenteser sammen ved at gange hvert led i den ene parentes med hvert led i den anden parentes:

(n + 1) · (n + 1) - n = n² + n + n + 1 - n

Da n - n = 0, så får vi:

n² + n + 1

Albertes formel:

Vi ganger n ind i parentesen ved at gange hvert led i parentesen med n:

Da n · n = n² og n · 1 = n, så får vi:

n² + n + 1

Bertils formel: A = (n + 1)² - n

Vi ved, at

Vi ganger to parenteser sammen ved at gange hvert led i den ene parentes med hvert led i den anden parentes:

Da n · n = n², n · 1 = n og 1 · 1 = 1, så får vi:

n · n + n · 1 + 1 · n + 1 · 1 = n² + n + n + 1

Bertils formel er:

A = (n + 1)² - n

Vi har lige omskrevet (n + 1)² til n² + n + n + 1, så Bertils formel kan omskrives til

A = n² + n + n + 1 - n

Da n - n = 0, så får vi:

A = n² + n + 1

Du kan tegne figurerne ved at prøve dig frem i et dynamisk geometriprogram, fx GeoGebra™.

Du kan også se på formlerne for arealerne af figurerne og undersøge, hvor lange siderne skal være, for at hver figur får arealet 50.

Kvadrat, rektangel, parallelogram

Arealet af et kvadrat med sidelængden s er s². Vi beregner arealet af et kvadrat med sidelængden 7,07:

7,07² ≈ 50

Arealet af kvadratet med sidelængden 7,07 er 50.

Et kvadrat er også et rektangel, så vi har også tegnet et rektangel med et areal på 50.

Et kvadrat er også et parallelogram, så vi har også tegnet et parallelogram med et areal på 50.

Trapez

Arealet af et trapez beregnes ud fra længderne af de to parallelle sider (2 og 8) og højden (10):

Retvinklet trekant, ligebenet trekant

Arealet af en trekant beregnes ud fra længden af grundlinjen (10) og højden (10):

Vi har tegnet en trekant, der både er retvinklet og ligebenet.

Ligesidet trekant

Hvis du arbejder i et dynamisk geometriprogram (fx GeoGebra™), så kan du tegne en ligesidet trekant med et areal på 50 ved at prøve dig frem med forskellige sidelængder.

Du kan også beregne sidelængden med Herons formel:

Vi kalder sidelængden x. Omkredsen er så 3x. Halvdelen af omkredsen er

Vi sætter arealet (50), sidelængden, x, og den halve omkreds, 1,5x, ind i Herons formel:

Vi løser ligningen med et CAS-værktøj:

x ≈ 10,75

Trekanten skal have sidelængden 10,75.