Tangenter

På siderne om tangenter til parameterkurver kan du læse om

Her er et uddrag af siden Tangentvektor, parameterfremstilling og ligning:

Eksempel: Bestem punkt ud fra tangentens ligning

Figuren herover viser parameterkurven for vektorfunktionen

$\vec{r}(t) = \binom{t^2-t + 2}{t}, \quad t \in \mathbb{R} \$

Figuren viser også linjen l givet ved

$y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$

Linjen l er tangenten til parameterkurven for $\vec{r}(t)$ i punktet P. Vi vil bestemme koordinaterne til P.

Først bestemmer vi t-værdien hørende til P.

Da linjen l tangerer parameterkurven i punktet P, så ligger P både på parameterkurven og på linjen l. Da P ligger på parameterkurven, så er punktets koordinater på formen (t² - t + 2, t). Da P også ligger på linjen l, så opfylder koordinaterne til P linjens ligning:

$t = \frac{1}{3} \cdot \left ( t^2 - t + 2 \right ) + \frac{2}{3}$

Vi omskriver ligningen:

$\begin{align*} && t &= \frac{1}{3} \cdot \left ( t^2 - t + 2 \right ) + \frac{2}{3} \\ \Downarrow &&& \\ && 3t &= t^2 - t + 2 + 2 \\ \Downarrow &&& \\ && 3t &= t^2 - t + 4 \\ \Downarrow &&& \\ && 0 &= t^2 - 4t + 4 \\ \end{align}$

Vi genkender, at ovenstående ligning er en andengradsligning. For at kunne løse ligningen bestemmer vi diskriminanten:

...